Действия над векторами. Упорядоченные последовательности из n - чисел х 1 , ,х n, могут быть записаны в виде вектор - столбца или вектор - строки x 1 n n 9 х x i x 1 , ,x n x i x n 1 1 Эти числа, составляющие вектор, называются компонентами вектора.
Если один из этих векторов обозначить буквой х, то другой будем обозначать х и называть транспонированным вектором. n 10 х х i х 1 , ,х n 1 Число n компонент вектора называется его размерностью.
СВОИСТВА ВЕКТОРОВ. а х у, если равны их компоненты x i y i x 1 y 1 x 1 y 1 б х у -сумма векторов. x n y n x n y n в Разность векторов х-у представляет собой вектор z, такой, что у z х. г умножение вектора на скаляр x 1 бx 1 бx хб б x n бx n СКАЛЯРНОЕ ПРИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. x1 y1 Пусть х х2 и у у2 два вектора в трех мерном x3 y3 пространстве.
Скалярным произведением этих векторов называют скалярную величину 11 хTу уTх х1у1 х2у2 х3у3 Нормой или длинной вектора х в евклидовом пространстве называют число 12 х х хTх Ѕ , где х -норма вектора х. Линейное пространство в котором определено скалярное произведение называется евклидовым пространством. БАЗИС ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА. Пусть имеем систему векторов 13 х1, х2, х3 хn Базисом базой системы векторов 13 называется такая линейно-независимая ее подсистема, через которую линейно выражаются все указанные векторы.
УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ. Пусть х х1, х2 и у у1, у2 - два вектора на плоскости. Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс совпадала с направлением вектора х, так что x1 x, х1 0 рис.3 2 y2 y б x y1 1 обозначим через угол б между векторами х и у при этом хTу х1у1 х2у2 х у cosб Угол между векторами определяется б arccos xTy x y при х 1 скалярное произведение хTу определяет проекцию вектора у называется ортогональным, если угол между ними равен 900, т.е. если хTу 0.