Выпуклые и вогнутые функции. Большинство известных методов решения задачи оптимизации сводится к исследованию характера функции q х в окрестности рассматриваемого значения x, т.е. к выяснению того, не является ли точка х точкой относительного минимума максимума. При этом задача усложняется, если целевая функция может иметь в допустимой области значений Х не один, а несколько минимумов или максимумов.
Поэтому значительный интерес представляют также задачи, в которых целевая функция имеет всего один максимум или минимум. Для выявления классов таких задач фундаментальную роль играют понятия выпуклости и вогнутости функций. Пусть f х - некоторая функция, заданная на выпуклом множестве Х, ах1, x2 - две произвольные точки из х, х ?х1 1 х2 0?1?1 - произвольная точка отрезка, соединяющая х1 и х2. Рассмотрим также отрезок z ?f х1 1 f х2 , соединяющий значения f х1 и f х2 функции f х. Функцию f х называют выпуклой, если она целиком лежит ниже отрезка, соединяющего две ее произвольные точки при любых х1 и х2 и при любом 0 1 значении функции в точке х будут не больше значений z отрезка, соединяющего f х1 и f х2 Функцию называют вогнутой, если она целиком лежит выше отрезка соединяющего две ее произвольные точки.