Операции над матрицами. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО. Пусть А матрица линейного преобразования Ах, б- число. 6 бА б аij При умножении матрицы А на число б все ее члены умножаются на это число.
СУММА МАТРИЦ. Пусть у Ах и v Вх - два линейных преобразования с матрицами А aij и В вij размером m n. Рассмотрим новое линейное преобразование, ставшее в соответствие каждому вектору х?Х вектор у v?Y 7 у v Ах Вх А В х Преобразование А В х называют суммой линейных преобразований Ах и Вх, или 8 А В aij вij При сложении двух матриц одинакового размера получается новая матрица того же размера, элементы которой равны сумме элементов складываемых матриц.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ. Пусть X,Y,Z-линеиные пространства размерностью m, r, n и пусть у Вх, z Ау - линейные преобразования пространства Х в пространство Y, и пространства Y в пространство Z, где В вkj и A aik матрицы размером m k и k n соответственно. Произведением преобразований Ау и Вх называют новое линейное преобразование Сz. 9 Z Cx A Bx ABx Матрицу С АВ размером n n называют произведением матриц А и В. n 10 Сij ? аikвkj, i 1,n, j 1,m k 1 Согласно 10 элемент Сij матрицы С представляет собой скалярное произведение i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В, так что произведение матриц АВ символически может быть представлено в виде a11 a1k в11 в1m 11 АВ an1 ank вk1 вkm ТРАНСПОНИРОВАНАЯ МАТРИЦА. Пусть А aij - матрица размером m n. Матрица АT а ij размером m n, строки которой являются столбцами матрицы А, столбцы строками матрицы А. Элемент а ij матрицы АT определяют по элементам аij матрицы А из соотношения 12 а ij аji ОСОБЕННОСТИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ. В квадратной матрице число строк равно числу столбцов.
Определителем квадратной матрицы называют, определитель составленный из элементов aij этой матрицы и обозначают det A. Определитель det A обладает следующими свойствами 1 при умножении на ? любого столбца матрицы А определитель det A умножается на ? 2 перемена местами двух соседних столбцов меняет знак det A на противоположный 3 если любые два столбца матрицы равны между собой, то det A 0 4 добавление к любому столбцу матрицы любого другого столбца, умноженного на произвольный скалярный множитель, оставляет det A неизменным 5 если столбцы матрицы линейно зависимы, то det A 0