Обратная матрица. Матрицей, обратной по отношению к квадратной матрице А размером n n, назовем такую матрицу А-1 того же размера, для которой справедливо соотношение 15 А А-1 А-1 А Е Пусть у Ах - линейное преобразование с квадратной матрицей А xij. Обратным преобразованием называют преобразование х А-1у. Матрицу А-1 этого преобразования называют обратной по отношению к матрице А. 16 А-1 1 detA Aij T , где Аij - алгебраическое дополнение элемента а в определителе матрицы. Система уравнений Ах у называется определенной и имеет единственное решение, если detA?0. Матрица А, для которой выполнено это условие, называют невырожденной.
ДИАГАНАЛИЗАЦИЯ МАТРИЦ. Вид квадратной матрицы А линейного преобразования у Ах, может быть изменен без изменения характеристического уравнения этой матрицы путем использования преобразования подобия.
Пусть А - квадратная матрица С - произвольная невырожденная матрица.
Преобразованием подобия называют преобразование 17 В С-1 А С Преобразование подобия позволяет приводить некоторые виды квадратных матриц к диагональной форме, являющейся наиболее удобным видом матрицы. ?1 0 0 18 diag ?1 ?2 n 0 ?2 0 0 0 ?n Нормой матрицы А размер m n называется сумма модулей ее элементов m n 19 А a ij i 1 j 1 При решении задач удобно ввести матрицы, элементы которых являются функциями независимой переменной t. Эти матрицы имеют вид a11 t a12 t a1n t 20 А t a21 t a22 t a2n t am1 t am2 t amn t и называются функциональными матрицами.
Производной матрицы А t по независимому переменному называется матрица А t вида da11 t dt da12 t dt da1n t dt 21 А t dA t dt dam1 t dt adm2 t dt damn t dt daij t dt 1.3 ПОНЯТИЕ ДИНАМЧЕСКОГО ОБЬЕКТА. Физический объект - физическое устройство, характеризуемое некоторым числом свойств, соответствующих целям его использования.
В теории систем существенным является не физическое, а математическое описание свойств объекта и соотношений между ними. В теории систем объектом А является абстрактный объект, связанный с множеством свойств, который обычно характеризуется числами или набором чисел.
Таким образом, фактически абстрактный объект или просто объект представляет собой множество переменных вместе с отношениями между ними. Вспомогательные определения и понятия v1, v2, основные переменные объекта А. Основное уравнение - соотношение между основными переменными. 1 A 1 v1 vn 0 Основное уравнение объекта A, A 2 v1 vn 0 где A j, j 1 m vi, i 1 n A m v1 vn 0 m и n - конечные числа Если абстрактный объект A определяется соотношениями 1 без каких - либо указаний, какие переменные являются входными причина, а какие - выходными следствия, то A будем называть неориентированным объектом.
Если основные переменные подразделены на две группы - входные и выходные переменные, играющие роль независимых и зависимых, то A будет называться ориентированным объектом.
Состояние объекта A в момент t0 может рассматриваться как параметр S t0 , связанной с каждой парой вход-выход U t0, t , Y t0, t, таким образом, что Y t0, t единственным образом определяется заданием U t, t и S t0 . Иначе говоря, состояние объекта в момент t0 есть некоторый набор чисел, представленный, например, вектором б, который изменяется в пространстве ? так, что знание 1 б, 2 - уравнения вход-выход для объекта и 3 - входа U t0,t является достаточным для однозначного определения входа y t0,t. S t0 - называется состоянием объекта в момент t0. t0,t - интервал наблюдаемости