Уравнение вход-выход-состояние. Пусть А- ориентированный абстрактный объект, U,у - вход и выход на интервале наблюдения t0,t - переменная в пространстве R U , R y - пространство входа и выхода. 2 y t A б U t0,t ? t t0 где A- функция б и U t0,t U и у принадлежат R U , R у Уравнение 2 является уравнением вход-выход состояния. Символьная форма записи вход - выход - состояние. 2 у t0,t A б,U , где черта над A служит для того, чтобы отличить у t и у t0,t Следовательно пара U t0,t, у t0,t удовлетворяет уравнению вход - выход - состояние 2 , если U t0,t и у t0,t составляют пару вход-выход по отношению к некоторому б в В соответствии с уравнением 2 можем записать R y A б, U б , U? R U Условия взаимной совместимости Каждая пара вход-выход для удовлетворяет уравнению вход - выход-состояние 2 Более детально 1 если U t0,t, у t0,t, или проще U,у является любой парой функции времени при U?R U , у?R y, удовлетворяющих уравнению А U,y 0, то U,y удовлетворяет также и 2 в том смысле, что существует б0 в ? такое, что 3 у A б0,U t0,t, и 2 любая функция времени U,y, удовлетворяющая уравнению 2 для некоторого б, принадлежащего ? на интервале наблюдения t0,t, является парой вход-выход для A. Первое условие собственной совместимости Для того, чтобы множество ? могло называться пространством состояний A , оно должно иметь следующее свойство если дана любая точка б в ? которую мы назовем состоянием A в момент t0 и любой вход U t0,t в пространстве входов A, то выход в момент t однозначно определяется значением б и U t0,t, и не зависит от значений U и y в момент времени, предшествующий t0, т.е. для всех t0 реакция y t в любой момент времени t t0, однозначно определяется заданием б и U t0,t. Это свойство является ключевым в понятии состояния.
Второе условие собственной совместимости.
Если уравнения вход - выход-состояние удовлетворяется при подстановке пары U t0,t, у t0,t, тогда оно удовлетворяется при подстановке всех пар вида U t, t1 , у t, t1 , где t0 t?t1, а U t, t1 и у t, t1 являются сегментами U t0,t, и у t0,t соответственно.
Это должно выполняться для всех б и ? и всех пар вход-выход, относящихся к б. Пусть UU ,yy - пара вход-выход, удовлетворяющая уравнению вход - выход-состояние 2 при б б0. Тогда можно записать yy A б0,UU , где U ,y вход и выход на интервале t, t0 Утверждение, что U ,y удовлетворяет уравнению вход - выход-состояние 2 , будет эквивалентно утверждению, что существует не пустое множество Q значений б в при которых выражение y A б U удовлетворяется для всех б в Q. Тогда в качестве состояния объекта A в момент t может быть принято любое состояние б в Qt б0,U при б0-состояние в момент t0 или, что тоже самое, начальном состоянии A. Состояние A в момент времени t будет обозначаться S t. Когда будет необходимо показать, что S t0 является начальным состоянием объекта A, уравнение вход - выход-состояние будет записываться в виде 4 y t A S t0 U t0,t S t0 и, в более общем случае S t изменяются в пространстве состояний т.е. для каждого фиксированного значения t, R S t Если выполнены условия совместимости, то можно утверждать, что состояние S t однозначно определяется состоянием S t0 и входом U t0,t и что функциональная зависимость S t от S t0 и U t0,t может быть получена из уравнения вход - выход-состояние y t A S t0 U t0,t, где б0 S t0 4 Выражение S t как функция S t0 и U t0,t называется уравнением состояния объекта. 5 S t S S t0 U t0,t, где S- функция со значением в Уравнение 5 производное от уравнения вход - выход-состояние 4 . Природа пространства состояний ? объекта является одной наиболее важных его характеристик.
Если ? есть континуум, то будем говорить, что А есть объект с непрерывным пространством состояний.
Если ? есть счетное множество, A будет называться объектом с дискретным пространством состояний. Если ? есть конечное множество, то А есть объект с конечным пространством состояний.
Вероятностные или стохастические объекты- объекты в которых для каждого t y t является случайной переменной.
Для таких объектов уравнения вход-выход- состояние 4 , заменяется уравнением вход-выход- распределение состояний, которое определяет вероятностную меру в пространстве y t0,t как функцию начального состояния S t0 и входа U t0,t. Графическое представление систем. U1 у1 U1 S у1 Uк ук Uк ук Представление объекта в виде блок-диаграмм 1.4