Объекты управления с непрерывным временем. Дифференциальные уравнения состояния 1 Њ t A t S t B t U t 2 у t C t S t D0 t U t D1 t U 1 t Dк t U к t Коэффициенты этих уравнений являются матрицами.
A- матрица состояний n n B- матрица входа m n C- матрица выхода L m D- проходная матрица L m Пусть А- непрерывная система, заданная уравнением входа-выхода вида Lу Ky Mu, где L,K,M- матричные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, u,у - входной и выходной векторы, а y -скрытый выходной вектор.
Соотношения вход - выход-состояние.
В процессе установления соответствия вектора состояния с системой и связанного с этим определения соотношения вход - выход-состояние системы, описываемой дифференциальными уравнениями, состоит в нахождении общего решения этого дифференциального уравнения. 2 L p y u, L p anpn a0, an?0, которое описывает R. Решить дифференциальное уравнение можно с помощью методов, хорошо известных из теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Однако будет удобно основываться не на классической теории, а получить общее решение сразу, путем преобразования Лаплпса.
Пусть R- система, описываемая соотношением вход-выход 2 , тогда выражение для общего решения будет иметь вид n t 3 y t ? y 1 t0- Ф? t-t0 ? h t U ? d? t?t0 1 t0 где h t Z 1 L S импульсной реакции R 4 H S 1 L S передаточная функция R, Ф? Z-1 anSn a? L S 1, ,n Функции времени Ф1, ,Фn линейно независимы и удовлетворяют дифференциальному уравнению L p Ф? t 0 1, ,n На втором этапе необходимо отождествить постоянные ai, i 1, ,n из уравнения 2 с составляющими вектора x t0 состояние R в момент времени t0 Положим базисные функции, или точнее говоря их преобразования по Лаплпсу, равными Sn-1 L S , ,S L S ,1 L S В этом случае составляющим x t0 будет 5 x1 t0- any t0 x2 t0- any n-1 t0- a1y t0- xn t0- any n-1 t0- an-1y t0- Заменяя начальные значения y 1 t0- в 3 через их выражения, представленные с помощью составляющих x t0 получим для общего решения 3 t 6 y t t-t0 , ,x t0 h t U ? d t?t0 t0 где h- импульсная реакция R Ф t Ф1 t , , Фn t составляющие которого суть базисные функции Ф? t Z-1 an?n-1 a? L S , а Ф t-t0 , x t0- обозначает скалярное произведение базисного вектора Ф t-t0 и начального вектора состояния x t0 Уравнение 6 является соотношением вход - выход-состояние для R. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТРИЦА. Будем исследовать реакцию при нулевом входе и вынужденную реакцию систем, описываемых уравнением вида 11 x t A t x t B t U t, где A t - квадратная матрица порядка n, элементами которой являются функции, непрерывные для всех значений t B t -непрерывная матрица размером n r x t - вектор состояния, U- вход. Пусть A t есть квадратная матрица порядка n, элементы которой - непрерывные функции.
Тогда решение матричного дифференциального уравнения 12 X A t X t , X t0 C, где C есть произвольная постоянная матрица, имеет следующий вид 13 X t t, t0 C Любая неособенная матрица, которая удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению 12 , называется фундаментальной матрицей системы 11 . Таким образом, любая фундаментальная матрица имеет вид 13 при некоторой неособенной матрице С n строк любой фундаментальной матрицы есть n линейно независимых решений для уравнения 11 . th. Пусть A t есть квадратная матрица порядка n, элементы которой непрерывные функции времени. Пусть Ф t, t0 есть также квадратная матрица порядка n, которая является решением уравнения 14 d dt Ф t, t0 A t Ф t, t0 , t, t0 I Тогда решение уравнения 15 x t A t x t, x t0 x0, обозначаемое через x t, x0,t0 , есть 16 x t, x0,t0 Ф t, t0 x0 ?t, ?x0 Матрица Ф t, t0 называется переходной матрицей состояния.
Из уравнения 16 можно сказать матрица Ф t, t0 есть линейное преобразование, которое отображает состояние x0 в момент времени t0 в состояние x t в момент t. СПОСОБЫ ВЫЧЕСЛЕНИЯ МАТРИЧНОЙ ЭКСПОНЕНТЫ. t 1. Если всех t ? A T dT и A t коммутативны, то t0 t Ф t, t0 exp ? A T dT t0 Пусть Ф t, t0 переходная матрица для 11 ,определяемой выражением 14 , тогда t 17 det Ф t, t0 exp ? a T dT , где t0 n a T aiT T ? trA T . i 1 2. Законченное решение позволяет получить формула интерполяции Лагранжа-Сильвестра.
Она применима к матричным функциям, которые могут быть представлены в виде сходящихся степенных рядов f A ? CiAi, где 0 матрица А с n отличающимися друг от друга собственными значениями соответствующих формуле интерполяции Лагранжа для аппроксимации функций с помощью многочленов.
Матрица перехода Ф exp At представляет такой степенной ряд n 18 Ф t eAt ? e?itFi, где i 1 n F П A iI ?i j j 1 j?i 3. Применение преобразования Лапласа к однородному дифференциальному уравнению вида q Aq, позволяет получить формулу, похожую на формулу Сильвестра, которую можно использовать не только для случая с простыми корнями 19 Ф t eAt Aiti i! I At A2t2 2! i 1 Эта формула особенно пригодна для аналитических исследований. 4. С помощью преобразования подобия матрица с n совершенно различными корнями ?i может быть приведена к диагональной матрице Л. Решение относительно А дает. 20 A KЛK-1 ,где К - матрица собственных векторов, K? K1,K2, ,Kn, согласно выводу из теории матриц имеет для двух подобных матриц А и, Л соответствующих уравнению 20 , справедливо f A Kf Л K-1 21 Ф t KeЛtK-1 причем, если известны корни ?i, сразу можно записать матрицу exp Лt e?1t 0 eЛt 0 e?nt Рассмотренные способы дают решение в аналитическом виде и требуют больших затрат времени на определение собственных значений матрицы А, т.е. корней характеристического уравнения.
В приведенных ниже способах оба этих момента отсутствуют. 5 При расчете матрицы перехода с помощью формулы Тейлора из 19 p-1 22 Ф t ? Ai ti t! Rp i 0 в системах с сосредоточенными параметрами для отдельных элементов матриц получим полиномы в функции t, которые могут быть записаны в виде сумм показательных функций e. 6. Путем программирование на аналоговой вычислительной машине элементы матрицы перехода могут быть получены в виде кривых, численно оценены или аналитически аппроксимированы.
Модуль вход-выход непрерывного объекта управления в форме векторно-матричного дифференциального уравнения вектор входа U U1, U2, ,Um T вектор выхода x x1,x2, ,xm T вектор состояния q q1,q2, ,qm T Уравнение состояния векторное дифференциальное уравнение 23 q t Aq t Bu t Уравнение входа 24 x t Cq t Du t Для одномерной системы n-го порядка эти уравнения упрощаются 25 q t Aq t bu t 26 x t CTq t du t 27 q1 a11 a12 q1 b1 U при n 2 q2 a21 a22 q2 b2 28 x C1 С2 q1 dU q2 Таким образом, векторное дифференциальное уравнение 25 служит компактной формой записи для системы из n скалярных дифференциальных уравнений первого порядка 29 q a11q1 a12q2 b1U q a21q1 a22q2 b2U. Уравнение входа для одномерной системы представляет собой скалярное алгебраическое уравнение 30 x c1q1 c2q2 dU ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ. Прежде всего нужно определить выходной сигнал xv t, соответствующий входному сигналу Uv t 31 Uv t U V dV д t-V U V dV - площадь импульса д t- V - единичный импульс при t V Соответствующий этому выходной сигнал представляет реакцию на импульсное воздействие, или соответственно весовую функцию g t-V , характеризуемую импульсами площадью U V d. Если уравнения системы представлены в стандартной форме записи 23 , 24 , то можно использовать общую форму решения уравнения переходного процесса t 32 q t Ф t q 0 ? Ф t-T BU T dT qсв t qпрн t 0 В рассматриваемом здесь случае переходного процесса при возмущающем воздействии и нулевых начальных условиях для выраженного в относительных единицах входного сигнала Uд Uд t д t получим характеристику состояния в относительных t 33 qд t ? Ф t-T bд T dT 0Для импульса д T , возникающего в момент времени T 0, интервал интегрирования должен быть принят от -0 Ф t b, при t?0 34 qд t 0, при t 0 Весовую функцию находят путем подстановки 34 в уравнение выхода 26 35 q t xд t CTqд t dUд t CTФ t b dд t при t?0 Для определения элементарного выходного сигнала xд t, соответствующего уравнению 31 , нужно учесть еще смещение входного импульса по времени и его интенсивность площадь . 36 xv t U V dV g t-V U V dV CTФ t-V b dд t-V U t U V dV д t-V U x t U V dVq t-V V T t-V t Элементарный входной и выходной сигналы при разложении на импульсы.