Объекты управления с дискретным временем. В случае, когда одна или более переменных могут наблюдаться только периодически, причем период наблюдения достаточно мал, так то все переменные можно восстановить с приемлемой точностью по их квантованным значениям, можно записать уравнения рассматриваемой системы для дискретных квантованных значений для всех переменных.
Иными, словами в качестве такой системы берется дискретная по времени система.
Исследование дискретных систем во многом подобно исследованию непрерывных систем.
Преобразование непрерывных систем в дискретные.
Пусть дана непрерывная система Y с уравнениями состояния 1 x Ax Bu 2 y Cx Du, где A,B,C,D суть n n, n r, p n и p r - постоянные матрицы соответственно.
Предположим, что компоненты входного вектора замеряются периодически и фиксируются сохраняются неизменными в течении каждого интервала kT, k 1 T , где k 1,0,1 U y рис.1 На рисунке 1 показано, что такая операция над входным вектором реализуется с помощью блока квантования, включенного между входом U и системой Y. Если б t является входом блока квантования, то его выход б0 будет ступенчатой функцией б0 t б kT , kT t? k 1 T Будем полагать, что вход измеряется через каждые T секунд, где T- период повторения или период квантования.
Вход системы задается последовательностью векторов Uk, причем Uk U kT . Период повторения T выбирается достаточно малым, так что интерполирование последовательностей xk, yk, где xk x kT , yk y kT , определяет функции x t, y t с приемлемой точностью для всех t. По этой причине имеет смысл искать зависимости между последовательностями xk, yk и входной последовательностью.
Наиболее удобно представить такие последовательности в виде рекуррентных соотношений выражающих xk 1 и yk 1 через xk и Uk. Используя выведенные ранее уравнения и вводя обозначение 3 F exp AT, T 4 G ? exp AT dT B, получим 0 получим 5 xk 1 Fxk Cuk 6 yk 1 Cxk 1 Duk 1 Выражения 5 , 6 являются уравнениями состояния дискретной системы, вход, выход и состояние которой определяется последовательностями векторов uk, xk, yk соответственно.
Поскольку A,B,C,D постоянные матрицы, эта система линейна и стационарна.
Из 5 можно найти xk как функцию начального состояния x0 и последовательности Ui r-1 k-1 7 xk Fkx0 ? FiGUk-i-1, k 1,2,3, i 0 РЕШЕТЧАТЫЕ ФУНКЦИИ. Функции, определенные только в некоторых точках t1,t2 и т.д называются решетчатыми.
Пусть t nT- равностоящие точки, где n- любое целое число, а T- постоянная, называемая периодом дискретности.
Тогда определенные в этих точка функции f nT f nT Любой f t - непрерывной можно поставить в соответствие некоторое множество решетчатых функций, если представить переменную t nT ?T 0 1 . При каждом фиксированном значении р переменной функцию f nT ?T -4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T nT можно рассматривать как функцию, определенную в точках ?T 1 T 2 T, Такие функции называются смешанными решетчатыми функциями. f nT ?T f nT T 8 f n-1 T,T f nT,0 Конечные разности решетчатых функций.
Выражение Дf n f n 1 -f n 9 называется разностью первого порядка решетчатой функции f n Д2f n Д f n 1 - Дf n - вторая разность Дkf n Дk-1f n 1 - Дk-1f n - к-тая разность Выражение значения решетчатой функции через ее конечные разности до порядка l включительно l 10 f n l ? kl Дkf n где kt l! k! l-k k 0