Использование высших производных.
В случае, когда f’’(x)=0 (f’(x)=0) экстремум может быть, а может и не быть. Рассмотрим общий случай. Теорема 3.2:Пусть функция f: U(x 0 ) R, определенная в окрестности U(x 0 ) точки х 0 , имеем в х 0 производные до порядка n включительно (n>1). Если f’(x 0 )=…=f (n-1) (x 0 )=0 и f (n) (x 0 )=0 , то при n нечетном в х 0 экстремума нет, а при n четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если f (n) (x 0 )>0 , и строгий локальный максимум, если f (n) (x 0 ). Доказательство:Используя локальную фурмулу Тейлора f(x)-f(x 0 )=f (n) (x 0 )(x-x 0 ) n + (x)(x-x 0 ) n (3.2) где (x) 0 при x x 0 ,будем рассуждать так же, как при доказательстве леммы Ферма. Перепишем (2) в виде f(x)-f(x 0 )=(f (n) (x 0 )+ (x))(x-x 0 ) n (3.3) Поскольку f (n) (x 0 )=0,а (x) 0 при x x 0 , сумма имеет знак f n (x 0 ),когда х достаточно близок к х 0 . Если n нечетно, то при переходе через х 0 скобка (х-х 0 ) n меняет знак и тогда изменяется знак всей правой, а следовательно, и левой части равенства (3.3). Значит, при n=2k+1 экстремума нет. Если n четно, то (x-x 0 ) n >0 при x=x 0 и, следовательно, а малой окрестности точки х 0 знак разности f(x)-f(x 0 ), как видно из равенства (3.3), совпадает со знаком f (n) (x 0 ) : • пусть f (n) (x 0 ),тогда в окрестности точки х 0 f(x)>f(x 0 ), т. е. в точке х 0 – локальный минимум; • пусть f (n) (x 0 )>0,тогда f(x)>f(x 0 ) ,т. е. в точке х 0 локальный минимум. ч.т.д. 4.