Методика решения тестовых задач. Данная задача решается с помощью двухслойной неявно конечно- разностной схемы.
Схема реализуется в три этапа. 1 этап: находятся предварительные значения с помощью 4-х точечной неявной схемы: ( 5 ) 2 этап: используется за два шага. Сначала находятся на полученном слое ( ) с шагом, а затем через. В этом случае используется 4-х точечная неявная разностная схема: ( 6 ) ( 7 ) 3 этап: окончательные значения находятся в виде линейной комбинации двух предварительных значений: ( 8 ) Для решения (1) воспользуемся формулами (5) - (8). Данные уравнения представляют трех диагональные матрицы, решаемые методом скалярной прогонки.
В начале нужно преобразовать (5) – (7) к виду: ( 14 ) Тогда (5) примет вид: Т.е. ; ; ; . Формула (6) преобразуется в: Т.е. ; ; ; . Формула (7) преобразуется в: Т.е. ; ; ; . Далее решаем по формулам скалярной прогонки: ( 15 ) ( 16 ) Для определения, и воспользуемся данными граничными условиями, т.е. формулой (4) и функцией. Так если мы берём из формулы (9), то имеем: Приведём это выражение к виду: . Т.е. теперь мы имеем и : Далее найдем конечное : ( 18 ) Проведя аналогичные расчёты для заданных формулами (10) – (13), мы получим соответствующие, и. Далее мы можем решить системы методом прогонки и получить требуемый результат. 4. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В результате проведённых испытаний программа показала свою высокую надёжность. Были получены следующие данные.
При расчёте с использованием функции и входных данных ; ; ; ; ; ; на отрезке по X и по времени [0,1] с шагом 0,033 был получен результат с ошибкой равной 0,0675 . Для функции при ; ; ; ; ; ; , на том же промежутке, ошибка составляет 0,055 . С функцией и ; ; ; ; ; ; ошибка примет значение 0,0435 . При и условиях ; ; ; ; ; ; в результате возникает ошибка равная 0,0055 . И, наконец, если выбрана функция и ; ; ; ; ; ; , то ошибка составит 0,00255 . Т.е. можно сказать, что мы имеем результат с первым порядком точности.
Столь малую точность можно объяснить тем, что производная, найденная при граничных условиях, так же имеет первый порядок точности.