Кубатурная формула типа Симпсона. Пусть сначала область интегрирования есть K-мерный пространственный параллелепипед (рис. 5), стороны которого параллельны осям координат.
Каждый из промежутков разобьём пополам точками: , где. Всего таким образом, получим точек сетки. Имеем: (14) Находим K-мерный интеграл, вычисляя каждый внутренний интеграл по квадратурной формуле Симпсона на соответствующем отрезке.
Проведём полностью все вычисления для случая K=2: Применяя к каждому интегралу снова формулу Симпсона, получим: или (15) Формулу (15) будем называть кубатурной формулой Симпсона. Следовательно, (15ў ) где – сумма значений подынтегральной функции в вершинах прямоугольника , – сумма значений в серединах сторон прямоугольника , – значение функции в центре прямоугольника. Кратности этих значений обозначены на рис. 5. Если размеры пространственного параллелепипеда велики, то для увеличения точности кубатурной формулы область разбивают на систему параллелепипедов, к каждому из которых применяют кубатурную формулу Симпсона.
Опять рассмотрим случай K=2. Положим, что стороны прямоугольника мы разделили соответственно на и равных частей; в результате получилась относительно крупная сеть прямоугольников (на рис. 6 вершины этих прямоугольников отмечены более крупными кружками). Каждый из этих прямоугольников в свою очередь разделим на четыре равные части.
Вершины этой последней мелкой сети прямоугольников примем за узлы кубатурной формулы. Пусть и. Тогда сеть узлов будет иметь следующие координаты: и Для сокращения введём обозначение Применяя формулу (15) к каждому из прямоугольников крупной сети, будем иметь (рис.6): Отсюда, делая приведение подобных членов, окончательно находим: (16) где коэффициенты являются соответствующими элементами матрицы Если область интегрирования – произвольная, то строим параллелепипед, стороны которого параллельны осям координат (рис. 83). Рассмотрим вспомогательную функцию В таком случае, очевидно, имеем: Последний интеграл приближённо может быть вычислен по общей кубатурной формуле (16). 2.5