Применение теории матриц к решению функциональных уравнений. Под знаком неизвестной функции могут стоять дробно-линейные выражения вида. Такие дроби полностью определяются заданием матрицы, составленной из коэффициентов a, b, c, d. Пример 15. Найти функцию f, определенную при и удовлетворяющую уравнению (5.1) Решение.
Отыщем подстановку, переводящую выражения, стоящие под знаком неизвестной функции f в уравнении (5.1), друг в друга. Для этого положим. Отсюда. Кроме того, . Следовательно, подстановка – искомая.
Уравнение (5.1) примет вид . (5.2) В уравнении (5.1) Подстановка переводит точки соответственно в точки. Кроме того, из характера подстановки вытекает. Поэтому в уравнении (5.2) . Область допустимых значений х в системе, составленной из уравнений (5.1) и (5.2), является пересечением соответствующих областей каждого из уравнений (5.1) и (5.2), т. е. . Исключая из этой системы, получим Обозначив, получим. Из условия получаем, а также, что определяется видом подстановки.
Подстановка дает. Итак, функция с областью определения является решением примера 15, что и подтверждается проверкой. Сужение области определения искомой функции удалением точек вызвано методом решения уравнения. Несложные вычисления показывают, что функция , , удовлетворяет исходному уравнению. В самом деле, полагая в (5.1) , получим. Значения функции , , в точках и 1 соответственно равны и удовлетворяют приведенному соотношению. Более того, решение уравнения (5.1) в классе функций таких, что имеет вид Уравнение (5.1) решено, так как найдена подстановка переводящая дробно-линейные функции и, получим друг в друга.
На языке матриц это означает, что найдена матрица такая, что АХ = kB; BX =lA, где. Возникает вопрос, для любых ли дробно-линейных функций существует аналогичная подстановка; другими словами, для любых ли матриц А и В существует матрица X, удовлетворяющая уравнениям АХ = kВ, (5.3) ВХ = lА (5.4) при некоторых k, l, отличных от нуля. Предполагая, что такая матрица существует, из уравнений (5.3) и (5.4) получим: (lА)X = (lk)В, (ВХ)X = (lk)В, BX2 = (lk)B (5.5) Предположим, что функции, соответствующие матрицам А и В, отличны от констант.
Тогда, как показано выше, для А и В существуют обратные матрицы. Умножим обе части равенства (5.5) слева на В-1. Получим B-1BX2= B-1lkB; EX2 = (lk)E; X2 = mE, где m=lk Найдем общий вид матрицы такой, что, т.е. , при некотором m ≠ 0. Заметим, что х1x4 – х2х3 ≠ 0. Из правила умножения и условия равенства матриц имеем: Вычитая из первого уравнения четвертое, получим т. е. , либо. Если, то = 0 и = 0, что приводит к матрицам вида или. Если же то придем к матрице Проверкой убеждаемся, что матрицы Х2 и Х3 удовлетворяют уравнению X2=mЕ при некотором m. Матрица Х3 при х1 = 0 дает X1. Итак, матрицы вида и и только они удовлетворяют уравнению X2 = mE, m ≠ 0. Из (5.4) имеем X = lВ-1А. Поэтому, если матрица В-1А имеет вид Х2 или Х3, то она удовлетворяет каждому из уравнений (5.3), (5.4). Теперь изложим один из способов решения функционального уравнения вида (5.6) где s(x), t(x), р (х) — некоторые данные функции, Решая матричное уравнение вида А = ВХ, где , , получим X = В-1А, Если матрица X имеет вид, то подстановка в (5.6) даст второе уравнение относительно неизвестных , Если полученная система имеет решение, то из нее найдем выражение для. Последнее дает возможность найти f(x). Как обычно, обязательной частью решения является проверка.
Случай тривиален, А = х1В, т. е. выражения, стоящие в (5.6) под знаком f, совпадают.
Пример 16. Найти функцию f, определенную при, удовлетворяющую уравнению (5.7) Решение.
Решаем матричное уравнение AХ = В, где ; . Для матрицы A обратной является матрица. Тогда. Матрица X имеет вид, поэтому применим к уравнению (5.7) подстановку. Последнюю удобно выполнять с помощью матриц. Правой части уравнения (5.7) соответствует матрица. Применение к ней подстановки равносильно умножению справа на. В результате получим. Таким образом, из уравнения (5.7) находим (5.8) Исключив из системы, составленной из уравнений (5.7) и (5.8) имеем (5.9) Из (5.7) видим, что. Подстановка сохранила эти ограничения.
Кроме того, . Положим. Так как, то. Отсюда. Заменяя, из (5.9) получим. Проверка показывает, что эта функция удовлетворяет условию задачи: § 6.