Предельный переход. Идею предельного перехода проиллюстрируем на следующих примерах.
Пример 17. Решить в классе непрерывных функций уравнение (6.1) где х R. Решение. Заменив х на, получим (6.2) Используя ту же замену, из уравнения (6.2) последовательно получим , , … Методом математической индукции можно доказать, что (6.3) Сложив все уравнения, начиная с (6.2), получим (6.4) Так как функция f(х) непрерывна, то при любом фиксированном х Здесь. Из (6.1) . Тогда Левая часть равенства (6.4) не зависит от n, поэтому существует ее предел при n → ∞. Переходя к пределу в равенстве (6.4), при n → ∞ имеем (6.5) Правая часть (6.5) является суммой трех бесконечно убывающих прогрессий Итак, , что и подтверждается проверкой.
Пример 18. Функция f: R→R непрерывна в точке 0 и для любого x R выполнено равенство 2f(2x) = f(x)+x. Найти все такие f. Решение. Пусть функция f удовлетворяет условию. Тогда Тривиальная проверка показывает, что функция x/3 действительно является искомой. Пример 19. Доказать, что уравнение , (6.6) не имеет непрерывных решений.
Решение. Допустим, что существует непрерывное решение функционального уравнения (6.6). Подставим в исходное уравнения вместо x выражение ведь если x ≥ 0, то и получим: (6.7) Теперь сделаем такую же замену в соотношении (6.7): (6.8) Описанную операцию проделаем ещё несколько pаз. На n-ом шаге имеем: Сложим все получившиеся выражения, начиная с (6.6) (всего будет n выражений), и приведем подобные слагаемые: (6.9) Равенство (6.9) верно для любого натурального n. Зафиксируем x, а n устремим к ∞. Ввиду непрерывности f(x) в точке x = 0, находим (6.10) где В левой части (6.10) при конкретном (фиксированном) x стоит некоторая константа, т.е. при данном x ряд в правой части (6.10) сходится к этой константе.
Мы же покажем, что этот ряд расходится для любого значения x > 0, таким образом, придём к противоречию. Для любого натурального k и x > 0 верно неравенство так что Гармонический ряд неограниченно возрастает при увеличении n (известный факт), следовательно, расходится к ∞. Что и требовалось доказать.
Пример 20. Найти f(x), ограниченную на любом конечном интервале, удовлетворяющую функциональному уравнению: Решение. x = 0 f(0) = 0; … переходя к lim при x → ∞ используя непрерывность f(x) и f(0) = 0 получаем, что. Пример 21. Решить функциональное уравнение (6.11) в классе непрерывных функций. Решение. Выполнив замену, получим (6.12) Складывая (6.11) с уравнением (6.12), умноженным на, получим Это уравнение решается аналогично уравнению (6.1). Найдем подстановку, переводящую в. Для этого положим. Отсюда. Выполнив n раз подстановку, получим систему уравнений, из которой находим Отсюда при n → ∞ , или, что и подтверждается проверкой. п. 6.2.