Дифференцирование. В некоторых случаях для нахождения решения функционального уравнения целесообразно продифференцировать обе части уравнения, если, конечно, производная существует.
В результате получим функциональное уравнение, которое содержит и производную неизвестной функции.
Решим это уравнение относительно производной. Тогда неизвестная функция является одной из первообразных для найденной производной. Этот метод уже применялся при решении уравнения Коши в классе дифференцируемых функций. Пример 22. Найти в классе функций, имеющих непрерывные производные, решение уравнения f(3x+2) = 3f(x), x R. (6.13) Решение. Попытки решить уравнение методом предельного перехода не приводят к желаемому результату.
Левая и правая части (6.13) являются функциями от х. Они равны, следовательно, равны их производные по х. Продифференцируем (6.13) и после сокращения получим f′(3x+2) = 3f′(x) Это уравнение уже можно решить методом предельного перехода. Выполнив подстановку, получим цепочку равенств Ввиду непрерывности, при n → ∞, имеем Итак, = k, где k === . Первообразная функция f(х) == kx + b. Подставив в (6.13) х = –1, получим f(—1) = 0. Кроме того, f(–1) = – k + b, т. е. k = b. Легко проверить, что f (х) = k (х + 1) удовлетворяет условию при произвольном k. Пример 23. Найти все действительные дифференцируемые функции, удовлетворяющие функциональному уравнению (6.14) Решение.
Пусть f удовлетворяет данному уравнению. Тогда т.е. f(0)[1+f 2(x)] = 0, и, следовательно, f(0) = 0. После преобразований имеем , (6.15) откуда, с учётом следует, что f(x) = C (1+f 2(x)), (6.16) где C = f′(0). Значит, , Условие f(0) = 0 означает, что C1 = 0, т.е. f(x) = tg Cx. Очевидно, все функции вида tg Cx подходят под условие задачи.
Пример 24. Найти функцию f(x), удовлетворяющую уравнению f′(x) +xf (-x) = ax x R, a = const. Решение. f′(-x)-xf(x) = -ax. Введём новые функции Ясно, что функция F(x) - чётная, а G(x) - нечётная функции, причём f(x) = F(x)+G(x). Получим уравнение относительно новых функций F(x) и G(x): G′(x)-xG(x) = 0, F′(x) +xF(x) = ax, Так как G(-x) = -G(x), то G(x) ≡ 0 и Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что при любых числах a, A функция f(x) является решением исходного уравнения.