Класс монотонных функций.
Здесь мы будем предполагать, что функция f не убывает на всей действительной оси (случай невозрастания функции рассматривается аналогично). Значит для любых x1 < x2. Для рациональных x доказано f(x) = x•f(1). Возьмём произвольное иррациональное x. Известно, что любое иррациональное число можно сколь угодно точно приблизить рациональными числами, поэтому для любого натурально q существует целое p такое, что (1.6) и при достаточно больших q число x расположено между двумя очень близкими рациональными числами, разность между которыми равна. Используя монотонность функции f, находим откуда (воспользовавшись соотношением для рациональных значений функции f) , a = f(1). (1.7) Так как из (1.3) f(0) = 0, то, ведь функция f не убывает, значит Если a = 0, то из неравенств имеем. Если a = 0, то из (1.7) . (1.8) Сравнивая эти неравенства с (1.6), получим Покажем это. Предположим, что это неверно, например, для выбранного иррационального x. Подберём q настолько большим, чтобы дробь попала между и x что противоречиво с (1.8). Полученное противоречие показывает, что для любого заданного иррационального x, поэтому f(x) = ax для всех x. п. 1.1.3