Класс ограниченных функций.
Пусть теперь функция f(x) ограничена с одной стороны (т. е. ограничена либо сверху, либо снизу) на каком-либо интервале (a, b). Нам нужно доказать, что линейными однородными функциями исчерпываются все решения (4) в данном классе.
Мы исследуем решение уравнения (4), предполагая f ограниченной сверху (случай, когда f ограничена снизу, сводится к рассматриваемому случаю заменой f на -f). Будем считать, что функция f ограничена сверху константой M, т. е. для всех. Рассмотрим вспомогательную функцию g(x) = f(x) - x•f(1). По доказанному выше g(x) = 0 при любом рациональном x. Кроме того, функция g(x) также является аддитивной.
Действительно, g(x + y) = f(x + y) - (x + y)•f(1) = f(x) + f(y) - xf(1) - yf(1) = g(x) + g(y). Подставим y = r (r - рациональное) в равенство g(x+y) = g(x)+g(y), получим, учитывая g(r) = 0, g(x+r) = g(x)+g(r) = g(x). Значит, любое рациональное число r является периодом функции g(x). Покажем теперь, что g(x) ограничена на интервале (a, b). Имеем где, поскольку при. Отсюда тогда следует, что g(x) ограничена сверху на всей вещественной оси. В самом деле, для любого действительного x существует рациональное число r такое, что r (a-x, b-x), т. е. a < x+r < b. Поэтому g(x) = g(x+r) < M1, так как x + r (a, b), а на интервале (a, b) функция g ограничена числом M1. Сейчас уже можно утверждать, что g(x) = 0 для любого действительного x. Допустим это не так, т. е. для некоторого x0 g(x0) = A, A 0. Поскольку для функции g(x), как для любой аддитивной функции, верно соотношение (1.1), то g(nx0) = ng(x0) = nA для любого целого n. Очевидно, что можно подобрать такое n (может быть, достаточно большое по абсолютной величине), что nA > M1, т.е. g(nx0) > M1. Но функция g ограничена сверху константой M1. Получаем противоречие.
Значит, g(x) 0, откуда f(x) = x•f(1), что и требовалось. п.1.1.4. Класс дифференцируемых функций.
Легко проверить, что если функция f (х) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке, Как показывает пример функции f(x)=|x|, обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Поэтому класс дифференцируемых функций уже класса непрерывных функций.
Следовательно, решением уравнения Коши в классе дифференцируемых функций является линейная однородная функция.
Тем не менее, метод решения уравнения Коши в предположении дифференцируемости f(x) представляет интерес ввиду его простоты.
При фиксированном у R f (х + у) и f(х) + f (у) являются функциями переменной х R. Ввиду их равенства, равны и их производные (по переменной x!). Продифференцировав обе части равенства (4), получим (1.9) ( , как производная постоянной). Равенство (1.9) выполняется для любых х R, у R, так как у можно было выбрать произвольно, Положив в(1.9) х = 0, придем к тождеству для всех у R. Итак, — постоянная функция.
Поэто¬му ее первообразная f (х) = сх + b (1.10) где b — некоторое действительное число. Проверка показы¬вает, что (1.10) удовлетворяет (4) только при b = 0, с R. Существуют и другие классы функций, в которых аддитивная функция неминуемо будет являться линейной однородной, однако найден пример аддитивной функции и в классе разрывных функций.
Этот пример построил Гамель. Построенная функция обладает следующим свойством: на любом (произвольно выбранном) интервале (a, b), пусть даже сколь угодно малом, функция f(x) не ограничена, т. е. среди значений, которые данная функция принимает на этом интервале, имеется и такое, которое больше любого наперёд заданного положительного числа.
Для построения такой функции Гамель ввёл множество G действительных чисел, называемое теперь базисом Гамеля, которое обладает свойством, что любое действительное число x представимо и при том единственным способом в виде , Произвольно задав значения f(x) в точках множества G, можно однозначно продолжить её на всю числовую прямую при помощи равенства вытекающего из свойства аддитивной функции. Такими функциями исчерпываются все решения (4). п.1.2.