Функциональное уравнение показательной функции. Покажем, что все непрерывные на всей действительной прямой функции, удовлетворяющие функциональному уравнению f(x+y) = f(x) •f(y), (5) задаются формулой f(x) = ax (a>0) (если не считать функции, тождественно равной 0). Итак, пусть f(x) - непрерывная и определённая при всех действительных x функция, удовлетворяющая (5). Исключим тривиальное решение f(x) 0. Тогда для некоторого значения x = x0 эта функция отлична от нуля. Положим в (5) y = x0 - x: f(x) •f(x0-x) = f(x0) 0; отсюда ясно, что f(x) не равна нулю ни при каком x. Заменяя x и y в (5) на x/2, получим так что f(x) строго больше 0 для всех x. Тогда равенство (5) можно прологарифмировать, например, по основанию e: lnf(x+y) = lnf(x) + lnf(y). Положив в этом соотношении φ(x = lnf(x)), придём к функциональному уравнению Коши (4): φ(x+y) = φ(x) + φ(y). Учитывая, что φ - непрерывная функция (как суперпозиция непрерывных функций), имеем по доказанному: φ(x) = lnf(x) = cx (c = const), откуда находим, что f(x) = eix = ax (если положить a = ec). Таким образом, единственной непрерывной функцией, удовлетворяющей уравнению Коши (5), является показательная функция (или тождественно нулевая функция). В качестве класса функций, в котором искалось решение (2), мы рассмотрели лишь класс непрерывных функций.
Как и в предыдущем пункте, можно было бы разобрать решения для монотонных и ограниченных функций, но этого мы делать не будем, потому что (5), как было подмечено, сводится к (4), а для него всё ясно. п.1.3.