Функциональное уравнение логарифмической функции. Все непрерывные решения функционального уравнения f (xy) = f(x) + f(y), (6) справедливого для всех положительных значений x и y, имеют вид f(x) = loga x (a > 0, a 1). Докажем это. Для этого введём новую переменную ξ, изменяющуюся в промежутке (- ; + ), и положим x = eξ (ведь x > 0), φ(ξ) = f(eξ), откуда ξ = lnx, f(x) = φ(lnx). Тогда функция φ удовлетворяет функциональному уравнению (4): а потому и f(x) = clnx. Если исключить случай c = 0 (тогда f(x) 0), то полученный результат может быть написан в виде f(x) = loga x, a = e1/c. п.1.4.