Функциональное уравнение степенной функции. Функциональному уравнению f(xy) = f(x)•f(y) (x > 0, y > 0) (7) удовлетворяют в классе непрерывных функций только функции вида f(x) = xa. Прибегая к той же подстановке, что и в п. 1.3, мы приведём уравнение (7) к уравнению (4): , откуда φ(ξ) = cξ (c >0), и, значит, f(x) = clnx = xa (a = lnc). Метод последовательного анализа можно применить к решению других уравнений.
Пример 1. Функция f определена и непрерывна на множестве R, f(1) = 1 и для любых действительных x и y Чему равно f(x)? Решение.
Из данного равенства при x = y = 0 получаем, что f(0) = 0, а при y = 0 имеем f(x) = f(|x|), так что функция f чётная и достаточно рассматривать только положительные значения аргумента. По индукции легко получить равенство ; в самом деле, по предположению индукции Положив в доказанном равенстве, будем иметь, т.е. . Если теперь – положительное рациональное число, то, если же x - иррациональное число, то x является пределом последовательности рациональных чисел, , и в силу непрерывности f будем иметь п.1.5.