Одно обобщение уравнения Коши. Пусть n — фиксированное натуральное число. Рассмотрим функциональное уравнение (1.11) где D (f) = R. При n = 1 оно обращается в уравнение Коши. Как было показано, в классе непрерывных функций единственным решением уравнения Коши является линейная однородная функция.
Из результатов Гамеля следует, что и разрывные функции могут удовлетворять уравнению Коши. Покажем, что решение уравнения (1.11) при n > 1 является непрерывной функцией.
Полагая х = у = 0, получим f (0) = 0. Поэтому при х = 0 из (1.11) имеем f(уn) = (f(y))n для всех у R. Каждое неотрицательное число z может быть записано в виде z = уn. Отсюда В частности, при х = -z т. е. f(-z) = - f (z), z R. Если, то Отсюда следует что f(х + w) = f(х) + f(w) для всех х R, w R, т. е. f(х) — аддитивная функция.
Для аддитивной функции при рациональных t имеет место соотношение f(tw) = tf (w). Легко видеть, что (1.12) Воспользовавшись формулой Ньютона, и аддитивностью f(x), преобразуем отдельно левую и правую части (1.12) при рациональных t: ; Правые части последних двух равенств представляют собой многочлены от t. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим , . В частности, для k = 2 имеем . (1.13) Если (f(1))n-2 > 0, то f(x) — неубывающая функция.
Действительно, всякое у > 0 представимо в виде у = х2, поэтому из (1.13) имеем f(у) = f(x2) ≥ 0. При х1 > x2, х1 – x2> 0, f(x1 – x2) ≥ 0, или, в силу аддитивности f(х), f (x1) – f (х2) ≥ 0. Если же (f(1))n -2 < 0, аналогично доказывается, что функция f(х) — невозрастающая. Ранее было доказано, что если аддитивная функция монотонна, то она имеет вид f(х) = ах. Полагая в (1.13) х = 1, получим, что f(1) равно 0 или 1 при четном n и f(1) равно 0, 1 или -1 при нечетном n > 1. Итак, f (х) = х либо f(х) = 0 при четных n; f (x) = х, либо f (х) = -х, либо f(х) = 0 при нечетных n > 1. Тем самым доказана не только непрерывность решения уравнения (1.11) при n > 1, но и получен его вид. § 2.