Приближенное вычисление значения числа e. На практике при встрече с числом e, как правило, необходимо знать его приближенное значение.
Если к варианте (вариантой принято обозначать переменную, принимающую некоторую последовательность значений) xn= применить формулу бинома, то получим: Если фиксировать k и, считав n>k, отбросить все члены последней части, следующие за (k+1)-м, то получим следующее неравенство: .Увеличивая здесь n до бесконечности, перейдем к пределу, так как все скобки имеют пределом 1, то найдем: . Это неравенство имеет место при любом натуральном k. Таким образом, имеем xn<yn≤e, отсюда видно, что и. При этом говорят, что yn является (n+1)-ой частичной суммой для бесконечного ряда, и записанное только что предельное соотношение показывает, что e является его суммой, а так же говорят, что число e разлагается в этот ряд, то есть. Оценим степень близости yn к e. Для этого рассмотрим разность между любым значением yn+m (где m=1,2,3 ), следующим за yn, и самим yn. Имеем Если в скобках [] заменить все множители в знаменателях дробей на n+2, то получим неравенство: , которое лишь усилиться, если заменить скобки суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем : .Если сохранять здесь n неизменным, а m увеличивать до бесконечности, то варианта yn+m будет принимать последовательность значений yn+1, yn+2, yn+2, yn+3,…, yn+m,…, очевидно, сходящуюся к e. Поэтому, а так как, то. Если через θ обозначить отношение разности к числу (оно, очевидно, содержится между 0 и 1), то также можно записать. Заменяя здесь yn его развернутым выражением, мы и придем к формуле, которая послужит начальной точной для вычисления e: . Отбрасывая последний, «дополнительный», член и заменяя каждый из оставленных членов его десятичным приближением, мы и получим приближенное значение для е. Если поставить себе задачей с помощью последней формулы вычислить е, с точностью, например, до 1/107,то, прежде всего, нужно установить, каким взять число n, находящееся в нашем распоряжении, чтобы осуществить эту точность.
Вычисляя последовательно числа, обратные факториалам (приложение 2), мы видим, что при n = 10 «дополнительный» член последней формулы будет уже 0,000 000 03, поэтому, отбрасывая его, мы получаем погрешность, значительно меньшую поставленной границы.
Каждый из остальных членов обратим в десятичную дробь, округляя (в запас точности) на восьмом знаке так, чтобы погрешность по абсолютной величине была меньше половины единицы на восьмом месте, то есть меньше 1/2,108 (приложение 2). Таким образом, очевидно, что поправка на отбрасывание дополнительного члена меньше 3/108. Если учитывать теперь ещё и поправки на округление, то становиться понятным, что суммарная поправка к полученному приближенному значению числа е лежит между числами и. Отсюда само число e содержится между дробями 2,718 28 78 и 2,718 281 86, то есть можно сказать, что е = 2,718 281 8 0, 000 000 1 Таким образом, с помощью формулы можно вычислить приближенное значение e с точностью до любого требуемого знака. 2.3.