Математическое мышление и его структура.
В психолого-педагогической литературе постоянно обсуждается проблема учёта индивидуально-психологических особенностей школьников. Рассмотрим следующие особенности: - качественные особенности восприятия (предметность, осознанность, структурность и т.д.); - преобладающие виды памяти (зрительная, слуховая, двигательная и т.д.); -виды мышления (наглядно-действенное, наглядно-образное, словесно-логическое и т.д.), - его качества (гибкость, глубина, широта и т.д.). Внимание педагогов математики, прежде всего, должно быть направленно на индивидуальные особенности математического мышления.
Математическое мышление – это определенно абстрактное теоретическое мышление, объекты которого лишены всякой вещественности и могут интерпретироваться самым произвольным образом лишь бы при этом сохранялись заданные между ними отношения. Именно поэтому педагогу важно знать структуру математического мышления. Согласно психологическим исследованиям структура математического мышления представляет собой пересечение пяти основных подструктур.
Типологическая подструктура обеспечивает замкнутость, компактность, связанность осуществляемых мышлением преобразований, непрерывность трансформаций, мысленное выращивание, вылепливание в представлении требуемого объекта (его образа). Порядковые подструктуры дают возможность постоянного сопоставления человеком математических объектов и их элементов по таким характеристикам, как больше – меньше, ближе – дальше, часть – целое, изменения направления движения и его характера, положение, форма, конструкция предмета.
Метрические подструктуры позволяют вычленять в объектах и их компонентах количественные величины и отношения (пропорции, численные значения размеров, углов, расстояний). С помощью алгебраических подструктур человек осуществляет не только прямые и обратные операции над математическими объектами, расчленение и соединение их составляющих, но и замену нескольких операций – одной из определённой совокупности, объединение нескольких блоков предмета в один, выполнение математических преобразований в любой последовательности.
Проективные подструктуры обеспечивают изучение математического объекта или его изображения с определенного самостоятельно выбранного положения, проецирование с этой позиции объекта на изображение (или изображения на объект) и установление соответствия между ними. Указанные пять подструктур в математическом мышлении человека пересекаются и находятся в определённой зависимости, иерархии по степени значимости и представительности в интеллекте.
В соответствии с индивидуальными особенностями каждого та или иная подструктура занимает место главной, ведущей, доминирующей. Она наиболее ярко выражена по сравнению с остальными, более устойчива и лучше развита. В соответствии со своей ведущей подструктурой человек по-разному воспринимает, оперирует, перерабатывает математическую информацию. При восприятии математического объекта один ученик, прежде всего, выделяет метрическое соотношения – его интересует вопрос «сколько?». Другой воспринимает в первую очередь топологические инварианты и оперирует ими (непрерывность, замкнутость, связность и т.д.). При этом он акцентирует свое внимание не на количественных, а лишь на качественных отношениях.
Очевидно, представитель именно этой группы мог сформулировать известный афоризм: «Не математики считают, что математики считают». [1; 143] Третий ученик (с ведущей алгебраической подструктурой) постоянно стремится к сокращениям, замене нескольких операций одной.
Он часто свертывает, а порой и пропускает какие-то шаги в рассуждениях (например, одним действием он осуществляет сразу несколько операций: переносит все члены уравнения в одну сторону, приводит подобные и тут же выносит общий множитель за скобки). Сделать проверку для такого ученика – мука. С учетом особенностей этого мышления мы строим процесс обучения школьников математике. Суть его заключается в том, что от детей не требуется общего, одинакового для всех решения.
Каждый может выполнять задание своим способом, тем, который ему понятен, а этот индивидуальный способ зависит от ведущей подструктуры математического мышления школьника. В зависимости от неё и помощь учителя, его подсказки должны быть различными. Только в этом случае они будут услышаны, восприняты и приняты. К сожалению, отсутствие учета индивидуальных особенностей математического мышления учащихся ведет к тому, что педагог навязывает детям тот способ рассуждения, который свойствен ему. В этом случае дети, ведущая подструктура которых совпадает с ведущей подструктурой педагога, легко его понимают, для них он понятно и доступно объясняет.
Для остальных же школьников усвоение математики – мука. Если учитель преподает в одном классе много лет, то возможно, что за это время он постепенно «переломает» и переформирует ведущую подструктуру некоторых школьников. Не ломать математическую индивидуальность ученика, а учитывать ее и строить процесс обучения в соответствии с ней – наша задача.
Именно этот путь (в соответствии со структурой мышления школьника) известный математик и методист А.И.назвал «подлинно «детским путем» в математику». Мышлению всегда приходится иметь в виду математические отношения, операции и законы. Поэтому в методике первый этап отводится «составлению ориентировочной основы действия» (Од). В ней различают два основных компонента: схему и алгоритм действий. На следующем этапе Од используется для решения системы задач.
Здесь впервые схема и алгоритм превращаются соответственно в понятия и действия самого ребёнка. На третьем этапе учебная карта убирается, но каждое указание проговаривается, и ориентировка выполняется тут же. Ничто не заучивается, всё усваивается только в действии.[8] 2.2. Влияние наглядно-образного мышления на усвоения математических знаний. Чтобы определиться с влиянием наглядно-образного мышления на процесс усвоения еще раз обратимся к определению.
Наглядно- образное мышление – это вид мышления, который осуществляется на основе преобразований образов восприятия в образы представления, дальнейшего изменения, преобразования и обобщения предметного содержания представлений, формирующих отражение реальности в образно-концептуальной форме. 1. Ключевым словом является восприятие т.е. особое значение оказывает наглядно-образное мышление на уровне восприятия учебного материала, а именно на этом на этом этапе учитель: знакомит, определяет, показывает.
А ученик: наблюдает, распознает, различает. 2. на втором уровне –понимание- учитель: разъясняет, а ученик: сравнивает, выделяет, запоминает. 3. Наглядно-образное мышление оказывает значение и на третьем уровне – осмысление. На данном этапе учитель: наблюдает, уточняет, а ученик: находит. На последних уровнях (закрепление и применение) появляется наглядно-действенное мышление. В процессе обучения математике в среднем звене школы воздействие на наглядно-образное мышление учащихся проявляется при использовании различных наглядных пособий, диафильмов, кино и телевидения. 2.3.