Некоторые свойства неопределенного интеграла. Теорема 1.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов: (1) Из доказательства найдем производные от левой и правой частей этого равенства.
На основании равенства (4) пункта №1 находим Таким образом, производные от левой и правой частей равенства (1) равны между собой, т. е. производная от любой первообразной, стоящая в левой части, равняется производной от любой функции, стоящей в правой части равенства.
Следовательно по теореме из пункта №1 любая функция, стоящая в левой части равенства (1), отличается от любой функции, стоящей в правой части равенства(1), на постоянное слагаемое.
В этом смысле и нужно понимать равенство (1). Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е. если a=const, то (2) Для доказательства равенства (2) найдем производные от левой и правой его частей: Производные от правой и левой частей равны, следовательно, как и в равенстве (1), разность двух любых функций, стоящих слева и справа, есть постоянная.
В этом смысле и следует понимать равенство (2). При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно иметь в виду следующие правила. 1).Если то (3) Действительно, дифференцируя левую и правую части равенства (3) получим Производные от правой и левой частей равны, что и требовалось доказать. 2). Если то (4) 3. Если то . (5) Равенства (4) и (5) доказываются дифференцированием правой и левой частей равенств.
Пример 1. = Пример 2. = = Пример 3. . Пример 4. Пример 5. 4)Интегрирование методом замены переменой или способом подстановки Пусть требуется найти интеграл, причем непосредственно подобрать первообразную для f(x) мы не сможем, но нам известно, что она существует.
Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив x=φ(t), (1) где φ(t)-непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию.
Тогда dx= φ′(t)dt;докажем, что в этом случае имеет место следующее равенство: (2) Здесь подразумевается, что после интегрирования в правой части равенства вместо t будет подставлено его выражение через х на основании равенства (1). Для того чтобы установить, что выражения, стоящие справа и слева, одинаковы в указанном выше смысле, нужно доказать, что их производные по х равны между собой. Находим производную от левой части : Правую часть равенства (2) будем дифференцировать по х как сложную функцию, где t-промежуточный аргумент.
Зависимость t от х выражается равенством (1), при этом и по правилу дифференцирования обратной функции. Таким образом, имеем Следовательно, производные от х от право й и левой частей равенства (2) равны, что и требовалось доказать. Функцию следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (2). Замечание.
При интегрировании иногда целесообразнее подбирать замену переменной не в виде, а в виде Проиллюстрируем это на примере. Пусть нужно вычислить интеграл, имеющий вид. Здесь удобно положить, тогда. Приведем несколько примеров на интегрирование с помощью замены переменных. Пример 1. Сделаем подстановку t=sin x; тогда dt= cosx dx и, следовательно, Пример 2. Полагаем t=1+x2 ;тогда dt=2xdx и Пример 3. Полагаем ; тогда dx=a dt, Пример 4. . Полагаем ; тогда dx=a dt, (предполагается, что a>0). В примерах 3 и 4 выделены формулы, приведенные в таблице интегралов под номерами 11′и 13′(см. выше, пункт №2). Пример 5. Полагаем t=lnx; тогда. Пример 6. ? Полагаем ;тогда dt= 2xdx, Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов.
Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким -либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных.
Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл. По существу говоря изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения. Этому посвящены большая часть настоящего пункта. 6.