ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление Введение § 1. Основные определения § 2. Уравнения Фредгольма. Теоремы Фредгольма 2.1 I рода 2.2 Уравнения Фредгольма II рода § 3. Уравнения Вольтерра. Связь с задачей Коши 3.1 I рода 3.2 Уравнения Вольтерра II рода § 4. Метод последовательных приближений для уравнений Фредгольма § 5. Введение Интегральные уравнения встречаются в различных областях науки и многочисленных приложениях (в теории упругости, гидродинамике, физике, экономике, медицине и т.д.). Решение линейных интегральных уравнений очень актуально в наше время.
Интегральные уравнения помогают в решении множества задач, которые порой невозможно или очень не рационально решать другим способом. На сегодняшний день это полноценный раздел, имеющий большое практическое значение. В данной работе рассматриваются линейные интегральные уравнения I и II рода, шведского математика Эвара Ивара Фредгольма (1866-1927гг) и итальянского математика, физика Вито Вольтерра (1860-1940гг). И способ их решения методом последовательных приближений.
После основного материала приведен ряд приложений, где описано несколько решений линейных интегральных уравнений. Цель работы – изучить линейные интегральные уравнения и методы их решения. Для поставленной цели необходимо решить задачи: 1) рассмотреть интегральные уравнения; 2) рассмотреть линейные интегральные уравнения; 3) изучить методы решения линейных интегральных уравнений; 4) решить линейные интегральные уравнения методом последовательных приближений. § 1. Основные определения Действительная функция называется квадратично интегрируемой (квадратично суммируемой, интегрируемой с квадратом) на отрезке, если интегрируема на. Совокупность всех квадратично интегрируемых на функций обозначают или коротко. Совокупность всех интегрируемых на функций обычно обозначают или коротко L1. Основные свойства функций из L2. 1°. Сумма двух квадратично интегрируемых функций есть квадратично итерируемая функция. 2°. Произведение квадратично интегрируемой функции на константу есть квадратично итерируемая функция. 3°. Произведение двух квадратично интегрируемых функций есть интегрируемая функция. 4°. Если действительные функции и, то имеет место неравенство Буняковского-Шварца Число называется скалярным произведением действительных функций и, а число — нормой действительной функции в . 5°. Для и имеет место неравенство треугольника 6°. Пусть функции и , ,…, ,… квадратично интегрируемы на отрезке. Если то говорят, что последовательность функций, сходится в среднем квадратичном к функции. Если последовательность функций из L2, сходится равномерно к, то и сходится к в среднем.
Ядро интегрального уравнения называется вырожденным, если оно представимо в виде Ядро интегрального уравнения называется разностным, если оно зависит от разности аргументов: Ядро интегрального уравнения называется симметричным, если оно удовлетворяет условию Линейное интегральное уравнение с переменным пределом интегрирования имеет вид , (1) где — неизвестная функция.
Линейное интегральное уравнение с постоянными пределами интегрирования имеет вид (2) При, уравнения (1) и (2) называются линейными интегральными уравнениями первого рода, а при — линейными интегральными уравнениями второго рода. Уравнения вида (1) и (2) при специальных условиях, накладываемых на их ядра и правые части, образуют различные классы интегральных уравнений (уравнения Вольтерра, уравнения Фредгольма, уравнения типа свертки и др.). При линейные уравнения называются однородными, а при — неоднородными.
Любое линейное однородное интегральное уравнение имеет тривиальное решение. Если и — частные решения линейного однородного интегрального уравнения, то их линейная комбинация с произвольными постоянными, также будет решением данного уравнения (в физических задачах это свойство называют принципом линейной суперпозиции). Общее решение линейного неоднородного интегрального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения данного неоднородного уравнения. Если однородное интегральное уравнение имеет только тривиальное решение, то решение соответствующего неоднородного уравнения будет единственным (если оно существует). Преобразование , , , (3) где , , — произвольные непрерывные функции ( ), приводит уравнения (1) и (2) к линейным уравнениям тою же вида относительно неизвестной функции. Такие преобразования часто используются для построения точных решений линейных интегральных уравнений.
Интегральным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаком определенного интеграла.
Если неизвестная функция входит в уравнение в первой степени, то такое интегральное уравнение называется линейным.
Линейным интегральным уравнением Фредгольма I рода называется уравнение вида Линейным интегральным уравнением Фредгольма II рода называется уравнение вида Линейным интегральным уравнением Вольтерра I рода называется уравнение с переменным верхним пределом вида Линейным интегральным уравнением Вольтерра II рода называется уравнение с переменным верхним пределом вида, где - известная непрерывная функция двух переменных (ядро интегрального уравнения); - свободный член, представляющий заданные непрерывные функции; - искомая функция; - заданные пределы интегрирования; - числовой параметр. § 2
Уравнения Фредгольма. Если значение правильное, то, как данное интегральное уравнение, так и... , (5) где В - постоянная, то его называют фредгольмовым ядром. Уравнен... (8) Если ядро и - непрерывно дифференцируемые функции, причем при, то ... Если, то должно выполняться условие.
Заключение В заключение хочется отметить то, что линейные интегральные уравнения являются достаточно распространенным и важным явлением, имеющим применение как в математическом анализе и ее приложениях, так и в физике.
Многие примеры практики сводятся, в конечном счете, к решению методом последовательных приближений. Данный метод наиболее прост и рационален из всех возможных методов решений линейных интегральных уравнений.
В данной работе были рассмотрены линейные интегральные уравнения. Таким образом, в ходе исследования курсовой работы, были достигнуты поставленные задачи и цель. Список литературы 1. Абрамович, M. Справочник по специальным функциям / М. Абрамович, И. Стиган.–М.: Наука, 1979.–305 c. 2. Верлань, А.Ф. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ / А.Ф. Верлань, В.С. Сизиков.–Киев: Наукова Думка, 1986.–226 с. 3. Виарда, Г. Интегральные уравнения. — М Л.: ОНТИ, 1933.–301 с. 4. Вольтерра, В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1982.–215 с. 5. Забрейко, П.П. Интегральные уравнения / П.П. Забрейко, А.И. Кошелев и др.–М.: Наука, 1968.–379 с. 6. Зайцев, В.Ф. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин.–М.: «Факториал», 1997.–197 с. 7. Канторович, Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л.В. Канторович, В.И. Крылов.–М Л.: Физматлит, 1962.–262 с. 8. Ловитт, У.В. Линейные интегральные уравнения.–М.: Гостехиздат, 1957.–197 с. 9. Манжиров, А.В. Интегральные уравнения / А.В. Манжиров А.Д. Полянин.–М.: МГАПИ, 1998.–532 с. 10. Михлин, С.Г. Интегральные уравнения и их приложения.—М Л.: Гостехиздат, 1949.–421 с. 11. Михлин, С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям.— М.: Физматгиз, 1959.–211 с. 12. Михлин, С.Г. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений / С.Г. Михлин, X.Л. Смолицкий.–М.: Наука, 1965.–512 с. 13. Полянин, А.Д. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения / А.Д. Полянин, А.В. Манжиров.–М.: " Факториал", 1998.–307 с. Приложение Пример 1. Методом последовательных приближений построить резольвенту интегрального уравнения Вольтерра II рода и найти решение этого уравнения при. Решение.
Вычислим повторные ядра этого уравнения: … Подставляя эти выражения в формулу для резольвенты, получим. Заметим, что ряд сходится при любых, что обеспечивается не малостью, как было в случае уравнения Фредгольма, а наличием множителя m! в знаменателях повторных ядер. Далее, предположив, получим и запишем решение уравнения при в виде Пример 2. Методом последовательных приближений решить уравнение Вольтерра Решение.
Итерационный процесс для данного уравнения выглядит так: . Выберем в качестве начального приближения тогда последовательно найдем: …. Переходя к пределу при, получим функцию, которая и является решением рассматриваемого уравнения.
Пример 3. Решить интегральное уравнение Вольтерра сведя его к задаче Коши для дифференциального уравнения.
Решение.
Легко видеть, что решение уравнения удовлетворяет условию. Последовательно продифференцируем интегральное уравнение и найдем Складывая последнее равенство с исходным, получим Решение задачи Коши с начальными условиями дает Пример 4. Вычислить три первых последовательных приближения решения интегрального уравнения Решение. Пусть решение имеет вид где Имеем Так как то первые три последовательные приближения и есть приближенные решения интегрального уравнения: Найдем точное решение данного интегрального уравнения. Имеем где Следовательно, и точное решение уравнения: Пример 5. Для интегрального уравнения найти резольвенту, определив радиус сходимости ряда. Записать решение при произвольном свободном члене, а также найти решение при и. Решение.
Находим итерации ядра: Итак, Резольвента ядра Полученный ряд является геометрической прогрессией, сходится при и сумма его равна Таким образом, Решение уравнения имеет вид. В частности, при имеем и.