Определение. Функция называется элементарной по Кальмару, если ее можно получить й из функций s 1 , I n m , x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования. Определим пять классов функций, элементарных по Кальмару.L 1 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования. L 2 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x-y, 2 x ,S, а также конечного применения операции суммирования.
L 3 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x-y, x*y, 2 x ,S, а также конечного применения операции ограниченной минимизации. L 4 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x-y, x+y 2 x , S, а также конечного применения операции ограниченной рекурсии.L 5 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x-y, x*y, S, а также конечного применения операции мультиплицирования.
Доказательство будем проводить по следующей схеме: 1. L 1  L 2  L 3  L 4  L 1 2. L 1  L 5 3. L 5  L 3 Докажем, что L 1  L 2 (для этого выразим 2 x через функции L 1 ) Докажем, что L 2  L 3 (для этого выразим x*y и операцию ограниченной минимизации через функции L 2 ) Пусть тогда Докажем, что L 3  L 4 (для этого выразим x+y и операцию ограниченной рекурсии через функции L 3 ) Выразим операцию ограниченной рекурсии на основании следующего свойства функции Геделя.
Пусть тогда Отношение, примененное в операция конечной минимизации, является элементарным по Кальмару. Докажем, что L 4  L 1 (для этого выразим операции суммирования и мультиплицирования через функции L 4 ) Выразим м3ультиплицирование через ограниченную рекурсию. Где (x,y)-к-ступенчатая функция.Выразим суммирование через ограниченную рекурсию. Докажем, что L 1  L 5 (для этого выразим x*y через функции L 5 ) Докажем, что L 5  L 3 (для этого выразим 2 x и операцию ограниченной минимизации выразим через функции L 5 ) Пусть тогда Эквивалентность классов доказана.