Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции. Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.Решение: Рассмотрим 1-ю функцию y = arcsin(1/x) Д(f): | 1/x | ≤ 1 , | x | ≥ 1 , ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ ) Функция нечетная ( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0; π/2 ] ) Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [- π/2 ; π/2 ], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x) Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ ) Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x 2 ). Решение: Д(f): [-1;1] Четная f(x) убывает на пр. [0;1] f(x) возрастает на пр. [-1;0] Пример №3. Исследовать функцию y=arccos 2 (x). Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z 2 f(z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0. f(y) убывает на пр. [-1;1] от π 2 до 0. Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x 2 -1)) Решение: Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +∞ ) Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках: [ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +∞ ) X 0 < x < 1 < x < +∞ u=1/(x 2 -1) -1 ↘ + ∞ - ∞ ↘ 0 y=arctg(u) - π /4 ↘ π /2 - π /2 ↘ 0 Тригонометрические операции над аркфункциями Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.
В силу определения аркфункций: sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x (справедливо только для x є [-1;1] ) tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x (справедливо при любых x ) Графическое различие между функциями, заданными формулами: y=x и y=sin(arcsin(x)) Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.
Аргумент функция arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) sin sin(arcsin(x))=x cos x tg x 1 / x ctg 1 / x x Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже: 1. Т.к. cos 2 x + sin 2 x = 1 и φ = arcsin(x) Перед радикалом следует взять знак “+”, т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный.
Значит, имеем 2. Из тождества следует: 3. Имеем 4. Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул. Пример №1. Преобразовать выражение Решение: Применяем формулу , имеем: Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств: Пример №3. Пользуясь Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества: Пример №5. Положив в формулах , и.