Задача 1.7.

В рамках линейной модели многоотраслевой экономики (модели Леонтьева) потребление валового выпуска продукции каждой отрасли , , распределяется между производственной и непроизводственной сферами:

, (1.4)

где элементы матрицы прямых затрат (постоянные числа) определяют величину потребления продукции -ой отрасли внутри -ой отрасли, - вектор внепроизводственного потребления. СЛАУ (1.4) удобно переписать в матричном виде

(1.5)

где - единичная матрица, - матрица из коэффициентов .

а) Пусть матрица прямых затрат имеет вид

;

для заданного вектора объемов производства рассчитать вектор объемов внепроизводственного потребления; для заданного вектора объемов внепроизводственного потребления рассчитать вектор необходимых объемов производства .

б) Пусть матрица прямых затрат имеет вид

;

для заданного вектора найти ;

для заданного вектора найти .

 

Несложная, на первый взгляд, задача решения СЛАУ иногда таит в себе массу проблем. Матрица и вектор в модели обычно определяются в результате наблюдений за хозяйственной деятельностью предприятий и, естественно, могут содержать погрешности. При этом, вопреки экономическому смыслу модели, система может оказаться несовместной или неопределенной. Выход состоит в поиске нормального (относительно заданного вектора ) псевдорешения (НПР), т.е. такого вектора , который обеспечивает минимум невязки и является наиболее близким к . Можно доказать, что

, (1.6)

где вектор обеспечивает минимум функции

, . (1.7)

Необходимое условие минимума выражается нормальной СЛАУ (имеющей единственное решение для любого )

, (1.8)

где - единичная матрица. Следовательно,

(1.9)

Численное решение в виде (1.9) всегда может быть найдено в Excel (заметим, что матрица является квадратной и невырожденной).

Важно подчеркнуть, что если исходная СЛАУ имеет единственное решение в обычном смысле (является совместной и определенной), то НПР совпадает с ним при любом выборе .