В рамках линейной модели многоотраслевой экономики (модели Леонтьева) потребление валового выпуска продукции каждой отрасли , , распределяется между производственной и непроизводственной сферами:
, (1.4)
где элементы матрицы прямых затрат (постоянные числа) определяют величину потребления продукции -ой отрасли внутри -ой отрасли, - вектор внепроизводственного потребления. СЛАУ (1.4) удобно переписать в матричном виде
(1.5)
где - единичная матрица, - матрица из коэффициентов .
а) Пусть матрица прямых затрат имеет вид
;
для заданного вектора объемов производства рассчитать вектор объемов внепроизводственного потребления; для заданного вектора объемов внепроизводственного потребления рассчитать вектор необходимых объемов производства .
б) Пусть матрица прямых затрат имеет вид
;
для заданного вектора найти ;
для заданного вектора найти .
Несложная, на первый взгляд, задача решения СЛАУ иногда таит в себе массу проблем. Матрица и вектор в модели обычно определяются в результате наблюдений за хозяйственной деятельностью предприятий и, естественно, могут содержать погрешности. При этом, вопреки экономическому смыслу модели, система может оказаться несовместной или неопределенной. Выход состоит в поиске нормального (относительно заданного вектора ) псевдорешения (НПР), т.е. такого вектора , который обеспечивает минимум невязки и является наиболее близким к . Можно доказать, что
, (1.6)
где вектор обеспечивает минимум функции
, . (1.7)
Необходимое условие минимума выражается нормальной СЛАУ (имеющей единственное решение для любого )
, (1.8)
где - единичная матрица. Следовательно,
(1.9)
Численное решение в виде (1.9) всегда может быть найдено в Excel (заметим, что матрица является квадратной и невырожденной).
Важно подчеркнуть, что если исходная СЛАУ имеет единственное решение в обычном смысле (является совместной и определенной), то НПР совпадает с ним при любом выборе .