МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

УРАЛЬСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ

 

Кафедра информатики и математики

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

 

 

Рабочая программа курса

 

Для заочного отделения специальности 061000 – «Государственное и муниципальное управление»

 

Составитель: С. Ю. Шашкин,

доктор физико-математических наук,

профессор

 

 

Введение

Роль математики в различных областях человеческой деятельности и в разное время была существенно различной. Она складывалась исторически, и наибольшее влияние на нее оказывали два фактора: уровень развития математического аппарата и степень зрелости знаний об изучаемом объекте, возможность описать его наиболее существенные черты и свойства на языке математических понятий и уравнений или, как теперь принято говорить, возможность построить математическую модель изучаемого объекта.

Успехи использования математических методов и стиля мышления в естественных науках с необходимостью, но, разумеется, не сразу привели к мысли о том, чтобы включить в сферу математического влияния и проблему принятия управленческих решений и попытаться тем самым превратить древнее искусство в современную науку. Испытанный метод проб и ошибок в наши дни часто теряет свою универсальность: слишком катастрофическими могут оказаться ошибки и слишком мало времени отпущено для проб. Становится все более ясным, что сегодня меньше, чем когда-либо ранее, допустимы произвольные, чисто волевые решения в экономике, менеджменте, социальной и политической сфере.

Не случайно поэтому в наше время наблюдается бурное внедрение математических методов во все области человеческой практики: вместо того, чтобы пробовать и ошибаться по отношению к реальным объектам, люди предпочитают делать это на математических моделях. Формируется новая научная дисциплина – исследование операций, позволяющая с использованием математических методов и моделей давать предварительное обоснование оптимальных решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Практическое использование достижений этой научной дисциплины делается все более массовым в связи с непрерывным совершенствованием общедоступной вычислительной техники и широким распространением специализированного программного обеспечения. Таким образом, основы математического моделирования – важнейшая составная часть образовательной программы современного менеджера или экономиста.

 

 

СТРУКТУРА КУРСА «Математические модели в экономике»

 

№	Виды учебной деятельности	Трудозатраты, час.
	Теоретическая часть (лекции)
	Практические занятия
	Всего аудиторных занятий
	Самостоятельная работа
	Всего по дисциплине
	Отчетность	зачет

 

 

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

 

Лекция 1.

Векторы, как направленные отрезки в двух- и трехмерном евклидовом пространстве. Координаты вектора, длина вектора. Обобщение на многомерный случай.… Определение матрицы. Использование двух индексов для идентификации элементов… Системы линейных алгебраических уравнений. Модель многоотраслевой экономики Леонтьева. Общий вид системы линейных…

Лекция 2.

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Линейная парная регрессия. Выборочный коэффициент корреляции, его смысл и свойства.… Общая задача регрессионного анализа – определение (или приближенная оценка)… Статистические свойства параметров парной и множественной линейной регрессионной модели и построение доверительных…

Лекция 3.

Формулировка задачи линейного программирования в стандартной форме и ее типичная экономическая интерпретация (нахождение оптимального плана выпуска… Формулировка задачи линейного программирования в канонической форме и ее… Линейная задача целочисленного (дискретного) программирования.

Практические занятия

Применение элементов линейной алгебры в экономике.

Задачи и методические указания

Задача 1.1.

Требуется определить суточный расход сырья , затраты рабочего времени и стоимость выпускаемый продукции . Указание.Ввести четыре вектора: - ассортимент, - расход сырья,

Задача 1.2.

. Элементы матрицы определяют затраты -го вида сырья на производство единицы… .

Задача 1.3.

, а затраты труда (в денежном выражении) на единицу продукции каждого вида… .

Задача 1.4.

  Вид изделия, № п/п Производительность предприятий, изд./день Затраты видов сырья изделия, ед. веса/изд. …   Требуется определить:

Задача 1.5.

- дневная производительность всех предприятий увеличивается на 100%, - число рабочих дней в году для 1-го предприятия увеличивается на 50 %, а для… - цены на виды сырья уменьшаются соответственно на 10, 20 и 30%.

Задача 1.6.

  Вид сырья Расход сырья по видам продукции, вес. ед./изд Запас сырья, вес.ед. …   Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Задача 1.7.

, (1.4) где элементы матрицы прямых затрат (постоянные числа) определяют величину… (1.5)

Задача 1.8.

, затраты предприятий вектором . Определить удельные затраты на производство изделий каждого вида из линейной… Указание. Убедитесь, что система несовместна; для этого рассчитайте вектор из ее двух первых и двух последних…

Задача 1.9.

, . Указание.Рассчитать в Excel семейство векторов , изменяя число от 0 до 0,1;… Поскольку матрица и вектор заданы целыми числами, то можно найти абсолютно точное решение системы . Убедитесь в том,…

Задача 1.10.

Указание. Очевидно, что решением должен быть вектор .   Вектор называют собственным вектором квадратной матрицы , отвечающим ее собственному значению , если существует такое…

Задача 1.11.

Найти бюджеты этих стран при условии, что их сумма задана: (усл. ден. ед.) (1.13)

Задача 1.12.

Структурная матрица торговли трех стран имеет вид:

.

Найти бюджеты первой и второй стран, при условии, что бюджет третьей страны равен 1100 усл. ден. ед. Решить задачу в Excel.

 

Контрольные вопросы

1. Как определяются операции сложения, вычитания матриц, их умножения на число?

2. Как определяется операция скалярного умножения векторов?

3. Как определяется операция умножения матриц?

4. Какая матрица называется квадратной? Единичной?

5. В чем заключается операция транспонирования матрицы?

6. Как определяется обратная матрица? Всякая ли матрица имеет обратную?

7. Изложите алгоритм решения СЛАУ

- по правилу Крамера;

- методом обратной матрицы;

- методом Гаусса.

 

 

Построение и исследование регрессионных моделей в экономике.

  Задача 2.1.В таблице приведены данные о величине прожиточного минимума х (руб.… Используя Excel, построить линейную регрессионную модель и провести ее исследование (т.е. построить диаграмму…

Задача 2.8.

x1 ‑ ВВП 1997 г., % к 1990г.; x2 ‑ расходы на конечное потребление в текущих ценах, % к ВВП; x3 ‑ расходы домашних хозяйств, % к ВВП;

Контрольные вопросы

1. Получите в рамках МНК аналитические выражения для расчета параметров следующих регрессионных моделей:

а) ; б) ; в) .

2. Какой смысл имеет коэффициент линейной корреляции двух наборов данных? Как он рассчитывается?

3. Докажите, что в рамках парной линейной регрессионной модели

.

4. Как определяются квантили для распределения Стьюдента? Фишера?

5. Можно ли построить регрессионную модель Кобба-Дугласа , используя программное обеспечение, предназначенное для построения линейных моделей?

 

 

Задача линейного программирования и основы оптимального управления.

  Задача 3.1.Стандартная ЗЛП характеризуется параметрами: , , .

Контрольные вопросы

1. Напишите уравнение прямой на плоскости. Единственным ли образом можно записать уравнение прямой на плоскости?

2. Напишите уравнение плоскости в трехмерном пространстве. Каков смысл параметров, входящих в это уравнение? Единственным ли образом можно записать уравнение плоскости в трехмерном пространстве?

3. Как задается на плоскости множество точек, лежащих по одну сторону от некоторой прямой (т.е. полуплоскость)?

4. Какое множество точек в Еⁿ называется ограниченным? Выпуклым?

5. Как определяются вершины (угловые точки) выпуклого множества?

6. Дайте определение стандартной ЗЛП, канонической ЗЛП.

7. Как определяется ОДР для ЗЛП?

8. Какой смысл имеет в ЗЛП оптимальный план? В каких точках ОДР он может находиться?

9. Опишите графический метод решения стандартной ЗЛП с двумя переменными.

10. Дайте определение задачи, двойственной по отношению к стандартной ЗЛП. Сформулируйте известные вам теоремы двойственности.

11. В каком случае стандарная ЗЛП имеет не одно, а несколько решений. Дайте геометрическую интерпретацию для ЗЛП с двумя переменными.

12. Какие величины называют теневыми ценами? Дайте их содержательную интерпретацию. Для чего можно использовать теневые цены?

13. При каком условии транспортная задача называется закрытой?

14. При каком условии транспортная задача называется открытой? Как находить решение открытой транспортной задачи?

15. В чем особенность задачи целочисленного линейного программирования?

 

Литература

1. Высшая математика для экономистов. / Под ред. Кремера Н.Ш. М.: Банки и биржи. ЮНИТИ, 2001.

2. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: Дело, 2002.

3. Шолохович Ф. А., Васин В.В. Основы высшей математики. Екатеринбург, УрГУ, 1999.

4. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении. М.: Дело, 2002.

5. Гарнаев А.Ю. Excel, VBA, Internet экономике и финансах. – СПб.: БХВ-Петербург, 2001.