Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.

Пусть — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен . Выберем какие-нибудь n точек на комплексной плоскости . Теперь многочлену f(t) мы можем сопоставить новый набор из n чисел: . Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел существует единственный многочлен f(t) степени не выше n − 1 с такими значениями в соответственно(см. Интерполяция).

Набор {f_k} и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора {x_k}. В качестве точек z_k обычно выбирают корни n-й степени из единицы:

.

Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей длины n напрямую требует порядка n² операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за O(nlogn) операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка n операций.