Преобразование Фурье

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье функции f вещественной переменной является интегральным преобразованием и задается следующей формулой: Отметим, что разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведенного выбором коэффициента перед…

// Свойства

Справедливо равенство Парсеваля: если , то преобразование Фурье сохраняет L2-норму: Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство .…

Применения преобразования Фурье

Разновидности преобразования Фурье

Многомерное преобразование Фурье

Здесь ω и x — векторы пространства , — их скалярное произведение.…

Ряды Фурье

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для 2π-периодических функций и… Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут…

Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает… Пусть — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен . Выберем… Набор {fk} и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора {xk}. В качестве точек zk обычно выбирают…

Оконное преобразование Фурье

где даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части… Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной.…

Другие варианты

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором x_k определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально компактных абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в её дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина.

Интерпретация в терминах времени и частоты

Когда функция f является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала.… Однако важно осознавать, что преобразования Фурье не ограничиваются функциями…

Таблица важных преобразований Фурье

Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье F(ω) и G(ω) обозначают фурье компоненты функций f(t) и g(t), соответственно. f и g должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.

Помните, что соотношения в этой таблице и в особенности множители такие как , зависят от соглашения, какая форма определения для Фурье преобразования использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).

	Функция	Образ	Примечания
			Линейность
			Запаздывание
			Частотный сдвиг
			Если a большое, то f(at) сосредоточена около 0 и становится плоским
			Свойство преобразования Фурье от n-й производной
			Это обращение правила 5
			Запись f * g означает свёртку f и g. Это правило — теорема о свёртке
			Это обращение 7
			δ(t) означает дельта-функцию Дирака
			Обращение 9.
			Здесь, n — натуральное число, δn(ω) — n-я обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
			Следствие 3 и 10
			Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера
			Также из 1 и 12
			Показывает, что функция Гаусса exp( − t2 / 2) совпадает со своим изображением
			Прямоугольная функция — идеальный фильтр низких частот и функция sinc(x) — её временной эквивалент
			Здесь — sign функция. Это правило согласуется с 6 и 10
			Обобщение 17
			Обращение 17
			Здесь — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 19

Литература

• Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики. Под ред. проф. В. П. Дьяконова. — М: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248. — ISBN 978-5-91359-049-7

• Дьяконов В. П. MATLAB 6.5 SP1/7.0/7.0 SP1 + Simulink 5/6/ Обработка сигналов и проектирование фильтров. — М: СОЛОН-Пресс, 2005. — С. 676. — ISBN 5-98003-206-1

• Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — Спб: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9

• М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов Спектральные преобразования в MatLab. — СПб: 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-98340-121-1