1. Биномиальное распределение.
Для дискретной случайной величины Х, представляющей собой число появлений события А в серии из п независимых испытаний (см. лекцию 6), М(Х) можно найти, используя свойство 4 математического ожидания. Пусть Х1 – число появлений А в первом испытании, Х2 – во втором и т.д. При этом каждая из случайных величин Хi задается рядом распределения вида
Xi | ||
pi | q | p |
Следовательно, М(Хi) = p. Тогда
Аналогичным образом вычислим дисперсию: D(Xi) = 0²·q + 1²·p – p²= p – p² = p(1 – p), откуда по свойству 4 дисперсии
2. Закон Пуассона.
Если р(Х = т) = , то М(Х) = (использо-валось разложение в ряд Тейлора функции ех).
Для определения дисперсии найдем вначале М(Х2) =
=
Поэтому D(X) = a² + a – a² = a.
Замечание. Таким образом, обнаружено интересное свойство распределения Пуассона: математическое ожидание равно дисперсии (и равно единственному параметру а, определяющему распределение).
3. Равномерное распределение.
Для равномерно распределенной на отрезке [a, b] непрерывной случайной величины то есть математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины равно абсциссе середины отрезка [a, b] .
Дисперсия
.
4. Нормальное распределение.
Для вычисления математического ожидания нормально распределенной случайной величины воспользуемся тем, что интеграл Пуассона .
( первое слагаемое равно 0, так как подынтегральная функция нечетна, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля).
.
Следовательно, параметры нормального распределения (а и σ) равны соответствен-но математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению иссле-дуемой случайной величины.