Определение 9.10. Корреляционным моментомсистемы двух случайных величин называется второй смешанный центральный момент:
Kxy = μ1,1 = M((X – M(X))(Y – M(Y))). (9.8)
Для дискретных случайных величин для непрерывных случайных величин
Безразмерной характеристикой коррелированности двух случайных величин является коэффи-циент корреляции
. (9.9)
Корреляционный момент описывает связь между составляющими двумерной случайной вели-чины. Действительно, убедимся, что для независимых Х и Y Kxy = 0. В этом случае f(x,y) = =f1(x)f2(y), тогда
Итак, две независимые случайные величины являются и некоррелированными. Однако понятия коррелированности и зависимости не эквивалентны, а именно, величины могут быть зависимы-ми, но при этом некоррелированными. Дело в том, что коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только линейную. В частности, если Y = aX + b, то rxy = ±1. Найдем возможные значения коэффициента корреляции.
Теорема 9.1.
Доказательство. Докажем сначала, что Действительно, если рассмотреть случай-ную величину и найти ее дисперсию, то получим:. Так как дисперсия всегда неотрицательна, то откуда Отсюда что и требовалось доказать.