Пусть - последовательность чисел. Рассмотрим величины (1).
Определение. Если существует , то говорят, что сходится бесконечный ряд (другое обозначение ) (2) и его сумма равна .
Если же не существует, либо бесконечен, то говорят, что ряд (2) расходится. Величины называются частичными суммами ряда. Можно кратко переформулировать данное выше определение: Ряд сходится Û существует предел его частичных сумм.
Пример. (геометрическая прогрессия). Из элементарной алгебры: . Если , то при и , т.е. ряд сходится. Если , то при и ряд расходится. Если , то ряд имеет вид . и . Если , то . Такая последовательность не имеет предела, так как у нее есть два различных предела (и 0), а значит общий предел не существует.
Определение. С бесконечным рядом (2) связаны ряды вида , называемые остатками ряда .
Утверждение. Ряд (2) сходится Û остаток - сходится.