Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование

Важный частный случай функциональных рядов представляют собой степенные ряды, т.е. ряды вида или, в более общем случае, . Поскольку при замене ряд переходит в ряд , достаточно рассмотреть эти последние ряды.

Теорема 1. Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно для любого значения такого, что .

Доказательство. Поскольку - сходится, . Следовательно, . (Действительно, взяв , получим, что при . Тогда в качестве можно взять наибольшее из конечного набора чисел ). Тогда . Так как , прогрессия сходится. Значит, по первой теореме о сравнении, сходится ряд , т.е. исходный ряд абсолютно сходится.

Эта теорема позволяет выяснить структуру множества, на котором сходится степенной ряд.

Во-первых, очевидно, что любой степенной ряд сходится в точке . Кроме того, есть ряды, которые сходятся только в этой точке, например, ряд .

Если же ряд сходится в точках, отличных от , то возможны два случая.

В первом из них множество чисел таких, что ряд сходится в точке , неограничено сверху. Тогда ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой, т.к. выберем так, чтобы, во-первых, и, во-вторых, ряд сходился. Тогда, по теореме 1, ряд абсолютно сходится.

Во втором случае множество чисел таких, что ряд сходится, ограничено сверху. Обозначим через точную верхнюю грань этого множества. Число называется радиусом сходимости ряда. Из определения следует, что:

1. Если , то ряд абсолютно сходится;

2. Если , то ряд расходится.

В случае, когда ряд сходится на всей числовой прямой , полагают .

В точках общего утверждения о сходимости сделать нельзя (т.е. бывают ряды, сходящиеся в обеих этих точках, бывают – сходящиеся лишь в одной из них, бывают – расходящиеся в обеих точках. Примеры будут приведены ниже).

Найдем формулы, с помощью которых можно вычислить - радиус сходимости степенного ряда. Рассмотрим ряд . Применим к его исследованию признак Даламбера. . Если существует , и если , то ряд сходится. Если же , то, начиная с некоторого места, и общий член ряда не стремится к 0, но тогда и общий член ряда не стремится к 0 и ряд расходится.

Иными словами, ряд сходится при и расходится при . Таким образом, число представляет собой радиус сходимости степенного ряда. (Если , то при всех и ряд сходится на всей числовой прямой, что обозначается равенством ).

Дадим другую формулу для радиуса сходимости. Применим к рассматриваемому ряду признак Коши. . Пусть существует . Тогда, как и выше, при ряд сходится, а при - расходится. Поэтому (при , разумеется, ).