Эффективность точечной оценки.

Опр. Несмещенная оценка параметра называется эффективной, если её дисперсия минимальна по сравнению со всеми возможными оценками

Замечания:

1) В отличие от несмещенности и состоятельности, эффективность зависит от закона распределения

2) Для проверки эффективности можно использовать неравенство Крамера-Рао: , где ) – информация Фишера

 

Если выполняется, как равенство, то данная – эффективна.

45. Метод максимального правдоподобия.

Пусть снова . Требуется оценить векторный параметр .

Выборочный вектор – вектор (Х₁,Х₂…Х_n), где Х_i одинаково распределены и независимы (х₁,х₂…х_n) – реализация выборочного вектора.

Функция правдоподобия выборки:

- для непрерывного генерального – плотность распределения выборочного вектора, взятая в точке его реализации;

- для дискретного генерального – вероятность реализации данного выборочного вектора.

Обозначение

Оценками максимального правдоподобия (ММП-оценками) называются такие значения параметров (), которые доставляют максимум функции правдоподобия выборки.

Обозначим ММП-оценку векторачерез . Пусть - внутренняя точка некоторого компакта S, функция L_x() дифференцируема в S. Тогда необходимым условием экстремума является равенство нулю всех производных первого порядка. Удобнее рассматривать экстремум не самой функции, а ее логарифма.