Проверка статистических гипотез

Пусть Х – наблюдаемая СВ. Она может быть дискретной, а может и непрерывной.

Опр. Статистической гипотезой Н называется предположение относительно параметров или вида распределения СВ Х. Гипотеза Н называется простой, если она однозначно определяет распределение СВ Х, иначе Н называется сложной.

Если распределение СВ Х известно и по выборке наблюдений необходимо проверить предположение о значении параметров этого распределения, то такие гипотезы называются параметрическими. А гипотезы о виде распределения – непараметрические.

Проверяемая гипотеза называется нулевой гипотезой и обозначается Н₀. Обязательно на ряду с Н₀ рассматривают одну из альтернативных гипотез Н₁.

При этом имеются различные ситуации для Н₁.

; ; ; .

Выбор альтернативной гипотезы Н₁ определяется конкретной формулировкой задачи.

Опр.Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу Н₀, называется критерием К. Так как решение принимается на основе выборки наблюдений СВ Х, то необходимо выбрать подходящую статистику, которую мы будем называть статистикой Z критерия К.Замечание. При проверке простой параметрической гипотезы Н₀: q=q₀ в качестве статистики критерия выбирают ту же статистику, что и для оценки параметра q, т.е..Основной принцип при проверке статистической гипотезы: Маловероятные события считаются невозможными, а события, имеющие большую вероятность, считаются достоверными. Реализация этого принципа на практике. Перед анализом выборки фиксируется некоторая малая вероятность a, называемая уровнем значимости. Пусть V множества значений статистики Z, V_K – подмножество множества значений статистики Z (V_K £ V). Это такое подмножество, что при условии истинности гипотезы Н₀, имеем вероятность того, что P{ZÎV_kïH₀}=a. Обозначим через z_в – выборочное значение статистики Z, которое вычитается по конкретной выборке. Критерии К формулируется следующим образом.

Отклонить гипотезу Н₀, если z_вÎV_k. Отклонить гипотезу Н₀, если z_вÎV V_k. Уровень значимости a определяет размер критической области, а ее положение зависит от альтернативной гипотезы Н₁.

Z_1–a–квантиль распределения Z при условии, что верна гипотеза Н₀.

Z_a– квантиль распределения Z при условии, что верна гипотеза Н₀.

Проверку параметрической гипотезы при помощи критерия значимости можно разбить на следующие этапы:1)сформулировать Н₀ и Н₁;2)назначить a;3)выбрать статистику Z для проверки Н₀;4)определить выборочное распределение Z при условии, что верна Н₀;5)определить V_K (она зависит от Н₁);6)получить выборку и вычислить z_b ;7)принять статистическое решение: z_вÎV_k – отклонить Н₀;

z_вÎV V_k – принять Н₀.