Появилась в 1899 г. и считается одним из современных аксиоматических обоснований евклидовой геометрии. Вся система аксиом состоит из 20 аксиом и содержит 26 требований, которые описывают 5 видов отношений между тремя геометрическими объектами – точками, прямыми и плоскостями. Отметим, что эти геометрические объекты – точки, прямые и плоскости никак не определяются, рассматриваются как первичные понятия, суть которых раскрывается через описываемые отношения. По типам отношений аксиомы образуют 5 групп и формируются следующим образом.
Группа 1. Аксиомы соединения. Эта группа аксиом описывает отношения инцидентности (связи и принадлежности) между точками, прямыми и плоскостям.
1. Для любых двух различных точек существует прямая, инцидентная этим точкам.
2. Для любых двух различных точек существует не более одной прямой инцидентной этим точкам.
3. Для каждой прямой существуют, по крайней мере, две точки, ей инцидентные. Существуют три точки, не инцидентные одной прямой.
4. Для любых трех точек, не инцидентных прямой, существует плоскость, инцидентная этим точкам. Для каждой плоскости существует, по крайней мере, одна точка, ей инцидентная.
5. Для трех различных точек, не инцидентных прямой, существует не более одной плоскости, инцидентной этим точкам.
6. Если две точки прямой инцидентны плоскости, то каждая точка этой прямой инцидентна плоскости (т.е. вся прямая инцидентна плоскости).
7. Если две плоскости имеют точку им инцидентную, то существует, по крайней мере, еще одна точка, им инцидентная.
8. Существуют четыре точки, не инцидентные одной плоскости.
Группа 2. Аксиомы порядка. Аксиомы этой группы определяют линейный порядок точек на прямой и понятие полуплоскости относительно прямой на плоскости. Первая аксиома содержит два требования.
9. Если. А, В, С – три точки, инцидентные прямой, и точка В лежит между точками А, С, то: а) точки А, В, С различны; б) точка В лежит между точками С, A.
10. Для любых двух точек А, В, инцидентных прямой а, существует точка С прямой а такая, что точка В лежит между точками А и С.
11. Для трех различных точек, инцидентных прямой, существуют не более одной из них, которая лежит между двумя оставшимися.
Для формулировки следующей аксиомы требуется дать некоторые определения, являющиеся логическими следствиями уже сформулированных аксиом 1–11.
Определение . Две точки на прямой А и В определяют отрезок.
Следствие. Согласно аксиомам 9–11 на этой прямой существуют точки, внешние и внутренние по отношению к отрезку АВ.
Определение. Совокупность трех точек А, В, С, не инцидентных одной прямой, и трех отрезков АВ, АС и ВС называется треугольником.