Геометрия Евклида

Содержание:

 

Введение………………………………………………………………………………...3

Глава 1.Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии…………….………4

1.1. О «Началах» Евклида……………………………………………………………...4

1.2. Аксиоматика Д.Гильберта………………………………………………………...6

1.3. Два недостатка аксиоматики Д.Гильберта……………………………………...13

Глава 2.Требования, предъявляемые к системе аксиом……………………………14

2.1. Непротиворечивость системы аксиом……………………….………………….14

2.2. Независимость аксиоматической системы……………………………………..16

2.3. Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом……………………..17

Глава 3. Интерпретации геометрии Евклида……………………………………….20

3.1. Интерпретация плоской геометрии Евклида…………………………………...20

3.2. Числовая модель планиметрии……………………………………………...…..22

3.3. Интерпретация Федорова………………………………………………………..24

3.4. Аналитическая интерпретация геометрии Евклида……………………………27

3.5. Физическая модель геометрии Евклида………………………………………...27

3.6. Интерпретация Пуанкаре планиметрии Евклида……………………………...29

Заключение……………………………………………………………………………32

Список литературы…………………………………………………………………...33

 

 

Введение

Согласно пониманию Гилберта категории основных объектов (точки, прямые и плоскости), а также основные отношения между ними могут быть самой различной природы, лишь бы удовлетворялись аксиомы. Отсюда вытекает возможность построения модели (интерпретации) одной и той же геометрической системы, исходя из конкретных различных значений категорий основных объектов [3, c. 106].

Говоря подробнее, основные объекты и отношения аксиоматики сопоставляются объектам модели и определенным, имеющимся между ними отношениям. Если при этом для объектов и отношений модели выполняется то, что говорится в аксиомах, то мы получаем интерпретацию аксиом. Или, как еще говорят, аксиомы реализуются на данной модели.

Таким образом мы определили, что

• объектом исследования являются различные интерпретации геометрии,
• предметом исследования - различные интерпретации геометрии Евклида,
• задачи исследования:

1. описать труд Евклида «Начала»,

2. выделить связи его аксиоматики с аксиоматикой Гильберта Д.,

3. освятить требования, предъявляемые к системам аксиом,

4. Описать различные интерпретации геометрии Евклида.

Таким образом, мы можем приступить к реализации нашего исследования.

Глава 1.Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии

1.1. О «Началах» Евклида

Александрийский ученый Евклид, живший в третьем веке до нашей эры, впервые в истории предпринял попытку глобальной систематизации математических фактов. Его “Начала” состояли из 13 книг, которые представляли собой, по существу, главы, посвященные отдельным вопросам математики. В них дано безупречное для того времени построение геометрии. Евклид начинал изложения с определений, постулатов и аксиом. Затем идут теоремы, которые представляют собой умозаключения, основанные на постулатах, аксиомах, определениях и ранее доказанных теоремах.

Математические построения начинаются с 23 определений. Приведем некоторые из них:

· Точка есть то, что не имеет частей.

· Линия же – длина без ширины.

· Концы линии – точки.

· Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.

· Параллельные прямые – это прямые которые находятся в одной плоскости и при неограниченном продолжении ни с той, ни с другой стороны не пересекаются и т.д.

Далее Евклид излагает постулаты и аксиомы, формулировки которых представляют для нас лишь исторический интерес.

Постулаты:

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

2. Каждую прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. Из любого центра можно описать окружность любым радиусом.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние по одну сторону углы, меньшие в сумме двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы в сумме меньше двух прямых.

Аксиомы:

1. Равные одному и тому же равны между собой.

2. Если к равным прибавляются равные, то целые будут равны.

3. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

4. Если к неравным прибавляются неравные, то целые будут не равны.

5. Удвоенные одного и того же равны между собой.

6. Половины одного и того же равны между собой.

7. Совмещающиеся друг с другом равны между собой.

8. Целое больше части.

9. Две прямые не содержат пространства.

Построения оснований геометрии были проделаны Евклидом с большим мастерством. “Начала” Евклида затмили сочинения его предшественников и на протяжении более чем двух тысяч лет “Начала” представляли образец математической строгости.

С точки зрения современной математики дедуктивные построения Евклида не отражают всех отношений между геометрическими элементами, часть определений логически не задействована, а сами доказательства опираются на ряд неопределяемых понятий [1, c.18-20].

Существуют различные объяснения роли аксиом и постулатов в “Началах”. Постулаты играют роль модельной аксиоматики, а аксиомы “Начал” являются прообразом аксиоматики действительных чисел. На интуитивном уровне “Начала” предвосхищают многие математические построения.

Аксиоматика Д.Гильберта

Группа 1. Аксиомы соединения. Эта группа аксиом описывает отношения инцидентности (связи и принадлежности) между точками, прямыми и плоскостям. 1. Для любых двух различных точек существует прямая, инцидентная этим… 2. Для любых двух различных точек существует не более одной прямой инцидентной этим точкам.

Аксиома Паша

Группа 3. Аксиомы конгруэнтности. Группы аксиом 1–3 позволяют доказать основные свойства отношения конгруэнтности между геометрическими фигурами,… 13. Пусть даны отрезок АВ а также прямая а/ и точка … 14.

Теорема (о внешнем угле треугольника)

Аксиомы 13–17 позволяют ввести операцию движения в геометрии. Определение движения. Взаимно однозначное соответствие точек плоскости … Заметим, что в этой группе вместо аксиом 13–17 можно аксиоматически задать движение и некоторые его свойства. Тогда…

Группа 5. Аксиома параллельности

Обратим внимание на то, что через точку А вне прямой “a” можно провести хотя бы одну прямую “b”, не пересекающуюся с “a”, аÇb =Æ, мог… Действительно, опустим перпендикуляр АВ на прямую “a”. Затем восстановим в… A B a P …

Два недостатка аксиоматики Д.Гильберта

Первым недостатком является «язык» аксиоматики. Дело в том, что часть формулируемых аксиом содержит понятия, обоснование которых проводится на… Второй «недостаток» состоит в том, что описание отношений между основными… Для аксиоматического построения многомерной евклидовой геометрии потребовалось переосмыслить процесс арифметизации…

Глава 2.Требования, предъявляемые к системе аксиом

Введя систему аксиом, предъявляют к ней следующие требования:

1.Система должна быть совместной, или непротиворечивой.

2.Система аксиом должна быть такой, что бы каждая отдельная аксиома была, по возможности, независимой от остальных аксиом и групп.

3.Относительно системы аксиом должен быть решен вопрос: обладает ли она свойством полноты или нет. Система аксиом обладает свойством полноты, если любые ее две интерпретации изоморфны.

Рассмотрим подробнее каждое из этих требований.

 

Непротиворечивость системы аксиом

Теория , содержащая вместе с некоторым утверждением АÎ и отрицание этого утверждения ùАÎ называется не классической… Теоретическая проверка совместности системы аксиом, основанная на… С точки зрения здравого смысла противоречивая система аксиом не должна допускать никакой реализации или модели (кроме,…

Независимость аксиоматической системы

Для иллюстрации этого свойства обратимся снова к геометрической теории, основанной на аксиоматике Гильберта. Ясно, что непосредственная проверка… Возникает вопрос. Существует ли эффективное достаточное условие для проверки… Пусть Т – непротиворечивая система аксиом. Утверждение (аксиома) А не зависит от системы Т, если вместе с некоторой…

Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом

И=Д U О U Н. (1) Определение (дедуктивной полноты). Непротиворечивая система аксиом Т… И=Д U О. (2)

Глава 3. Интерпретации геометрии Евклида

Отвлеченно рассматриваемая аксиоматика сама по себе ни к чему определенному не относится, так что не ясно какой смысл она имеет. Для того что бы она получила более определенный смысл, нужно найти предмет – модель, где бы она выполнялась.

Определение. Модель или интерпретация аксиоматики представляет собой совокупность некоторых объектов с отношениями, для которых выполняются аксиомы[1, c. 117].

Рассмотрим различные интерпретации геометрии Евклида.

 

Интерпретация плоской геометрии Евклида

Дадим категориальный смысл основных объектов: 1.Прямые назовем «точками», 2.Плоскости – «прямыми»,

Числовая модель планиметрии

Тогда основными объектами в данной интерпретации будет: · «точка»- упорядоченная пара чисел (x,y). Эти числа- координаты точки. · «отрезок АВ»- множество точек (x,y), координаты которых удовлетворяют формулам:

Интерпретация Федорова

рис. 8. Прямая, пересекающая эту плоскость, изобразится пересекающимися окружностями…  

Аналитическая интерпретация геометрии Евклида

Основное отношение « лежать на» пусть имеет такой смысл: точка (x, y) лежит на прямой (u:v:w), если ux+ vy+ w= 0.Аналогично интерпретируются понятия… Введя упорядоченные тройки (x, y, z) как «точки» легко получить аналитическую…  

Интерпретация Пуанкаре планиметрии Евклида

Будем рассматривать данную плоскость Евклида с множеством всех ее прямых и ее отображение с множеством всех окружностей и прямых параболической… Введем основные понятия: · П -точкой называется любая точка плоскости П, т.е. любая точка плоскости Евклида с выключенной точкой О и…

Заключение

Анализируя результаты нашего исследования, мы можем выделить следующие:

1. мы описали труд Евклида «Начала»,

2. выделили связи его аксиоматики с аксиоматикой Гильберта Д., а также недостатки данной аксиоматики,

3. освятили требования, предъявляемые к системам аксиом, а именно непротиворечивость, независимость и дедуктивную полноту и категоричность системы аксиом,

4. описать различные интерпретации геометрии Евклида:

· интерпретацию плоской геометрии Евклида,

· числовую модель планиметрии,

· интерпретацию Федорова,

· аналитическую интерпретацию геометрии Евклида,

· физическую модель геометрии Евклида,

· интерпретацию Пуанкаре планиметрии Евклида.

Таким образом, мы имеем право говорить, что задачи нашего исследования реализованы.

 

 

Список литературы:

1. Адамар Ж. Элементарная геометрия, ч. I и ч. II, Учпедгиз, 1951.

2. Александров А.Д. Основания геометрии: Учебн. пособие для вузов.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

3. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия.- М.: Просвящение, 1996.

4. Атанасян Л.С. Геометрия Лобачевского: Кн. Для учащихся / Л.С. Атанасян.- М.: Просвящение, 2001.

5. Биркгофф Г. Математика и психология. – М.: Советское радио, 1977.

6. Каган В.Ф. Основания геометрии. Ч.1.- М.; Л.: Гостехиздат, 1949.

7. Киселев А.П. Геометрия, ч. I и ч. II, М., Учпедгиз, 1962.

8. Кутузов Б.В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии: пособие для учителей средней школы. - М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства посвящения РСФСР, 1995.

9. Ефимов Н.В. Высшая геометрия.- М.: Наука, 1978.

10. Погорелов А.В. Геометрия.- М.: Наука, 1984.