В аналитической геометрии на плоскости уже содержится числовая модель планиметрии; нужно только дать алгебраические определения основных объектов и отношений планиметрии [6, c 45-47].
Тогда основными объектами в данной интерпретации будет:
· «точка»- упорядоченная пара чисел (x,y). Эти числа- координаты точки.
· «отрезок АВ»- множество точек (x,y), координаты которых удовлетворяют формулам:
x = s xa + t xb, y = s ya + t yb, s + t =1 s, t ³0 (1)
Точки А (xa, ya) , В( xb,yb) назовем концами отрезка. Точка (x,y) принадлежит отрезку, если x и y выражаются формулами (1).
Каждому отрезку АВ относят число |АВ| - его «длину»:
(2)
Отрезки называют равными, если равны их длины. Таким образом, основные объекты и отношения определены.
Чтобы проверить выполнимость аксиом планиметрии, введем вместо точек формальные векторы, понимая под ними упорядоченные пары чисел.
Тогда: x = (x,y). От точек они отличаются тем, что для них мы определим сложение и умножение на число и друг на друга. Получаем:
(I) x1 + x2 = ( x1,y1) + ( x2,y2) = ( x1+ x2, y1+ y2),
(II) λx = λ(x,y) = ( λx, λy),
(III) x1* x2= ( x1,y1) * ( x2,y2) = x1x2 + y1y2 ,
(xx)= x2 = x2+ y2 и .
Отрезок АВ тогда можно записать так: x = xA +t (xB - xA), 0£ t £1. (3)
И |АВ|= | xB - xA| (4)
Вместо xB , xA будем писать a, b и т. п.
Для любых c и e определим луч с началом в точке с «вдоль» ненулевого вектора е: х=с+ te , (5)
где t пробегает любые неотрицательные значения, прямую определим тоже формулой (5), но при условии, что t пробегает все вещественные значения.
Часть луча, соответствующая какому угодно промежутку tÎ [t0, t1], представляет собой отрезок.
Полагая a = c + t0e , b= c + t1e, получим
x = c + te = , (6)
или , обозначая коэффициенты при a и b через r и s ,
x= ra + sb, где r+s = 1 и t0£ t £t1, будет r, s³0, так что мы имеем отрезок с концами a,b.
Для того, что бы проверить, что в указанной числовой модели выполняются все аксиомы планиметрии нужно то, что говорится в каждой аксиоме перевести на язык модели- язык координат- и убедиться, что сказанное в аксиоме выполняется.
Покажем это на примере проверки некоторых аксиом.
1. Проверим аксиому Архимеда. Пусть дан отрезок АВ. Его можно представить формулой х = a+te, |e| = 1, 0£ t £ l,
где l- длина отрезка АВ. Поэтому параметр t- это длина отрезка от точки а до х = a+te.
Если дан еще отрезок длины l1 , то отложив его вдоль АВ от конца А, получим, что при l1 ³ l, то останется отрезок с концами a+ l1 e , a+ le. Его длина будет l-l1. откладывая на нем отрезок длины l1 и т.д., придем к тому, что перекроем отрезок АВ ( на n-м шаге, где n такое, что nl1 ³ l >(n-1)l1), как и того требует аксиома Архимеда.
2. Проверим аксиому непрерывности. Последовательность вложенных один в другой отрезков можно представить так, что таким отрезкам будут отвечать промежутки значений параметра t, соответственно вложенные один в другой. По свойству вещественных чисел существует чисто t0, принадлежащее всем этим промежуткам. Ему будет отвечать точка a+t0e, общая данным отрезкам.
3. Проверим ту аксиому, что вдоль всякого отрезка от любого из его концов можно отложить отрезок, равный любому данному, и при том только один.
Пусть дан отрезок с концами a, b и некоторый отрезок длины l, который требуется отложить вдоль первого отрезка от его конца а. Представим первый отрезок формулой
x= a+ tc, c= b-a, 0£ t £1.
Отрезок x= a+ tl , 0£ t £1,
налегает на первый отрезок. Один его конец – а, другой d= a+l . Поэтому его длина будет |d-a|= l = l1, что и требуется.