Рассмотрим еще одну интерпретацию геометрии Евклида, принадлежащую русскому кристаллографу и геометру академику Евграфу Степановичу Федорову (1853 – 1919) [3,c 107-110]. Он составил такую модель. Возьмем точку А пространства и из нее опустим перпендикуляр на данную плоскость p. Опишем окружность в плоскости p, приняв основание этого перпендикуляра за центр, радиус окружности пусть равен расстоянию точки А до плоскости p. Ориентацию окружности выберем так, что если смотреть из точки А, то вращение, указанное стрелкой, будет против часовой стрелки. Точка А', симметричная А относительно плоскости p, будет отображаться окружностью того же радиуса, но обратной ориентации. Таким образом, полученная ориентированная - векториальная – окружность на плоскости p будет изображать точку пространства, находящуюся на расстоянии радиуса и по соответствующую сторону от плоскости. Прямой, перпендикулярной к плоскости, соответствует система концентрических окружностей на плоскости p (рис. 8).
рис. 8.
Прямая, пересекающая эту плоскость, изобразится пересекающимися окружностями различной ориентации, у которых центр подобия - точка пересечения прямой с плоскостью (рис. 9).
Рис. 9.
Прямая, параллельная плоскости p, изобразится равными окружностями. Прямая, лежащая в плоскости p, изобразится обычной прямой. Плоскость, перпендикулярная нашей плоскости изобразится окружностями, центры, которых лежат на линии пересечения плоскости p с перпендикулярной плоскостью. Эти окружности любого радиуса и различной ориентации. Плоскость, параллельная p, изобразится равными окружностями одной ориентации.
Построив такое отображение трехмерного пространства на плоскость при помощи ориентированных окружностей, выделим основные объекты:
1.Ориетнтированные окружности в плоскости p назовем «точками»,
2. Множество гомотетичных окружностей с различными ориентациями по разные стороны от центра гомотетии - окружности нулевого радиуса – «прямыми»,
3.Вся система окружностей - «плоскость».
Выделим основные отношения:
· «лежать на»- быть элементом образа;
· «Лежать между» - означает, что при обратном отображении этой системы окружностей получим точки пространства такие, что образ «лежит между»;
Выполнимость аксиом устанавливается наглядно на чертежах