Введем основные объекты. Пусть «точками» будут упорядоченные пары действительных чисел (x, y). «Прямые» - отношения трех упорядоченных чисел (u:v:w), из которых u и v одновременно не равны нулю. Все эти объекты считаем принадлежащими одной «плоскости».
Основное отношение « лежать на» пусть имеет такой смысл: точка (x, y) лежит на прямой (u:v:w), если ux+ vy+ w= 0.Аналогично интерпретируются понятия «между», «конгруэнтный».
Введя упорядоченные тройки (x, y, z) как «точки» легко получить аналитическую модель пространственной геометрии[3,c 110].
3.5. Физическая модель геометрии Евклида
Физическая модель геометрии Евклида реализует обычно лишь ограниченную часть пространства Евклида [9,c 26-27]. Если рассматривать «точки» и «прямые» какой-нибудь одной «плоскости», то получается интерпретация плоской евклидовой геометрии. Итак, точку, прямую и плоскость геометрии Евклида можно представлять соответственно как шарик, цилиндр и «плоский слой» того же диаметра (рис 9,10).
рис.9.
рис. 10.
Определим основные отношения:
· «точка» «лежит» на «прямой», если шар вписан в цилиндр,
· «точка» «лежит» в «плоскости», если шар вписан в плоско-параллельную пластинку,
· «прямая» «лежит» в «плоскости»,если цилиндр вписан в плоско – параллельную пластинку.
При такой интерпретации все аксиомы соединения соблюдаются. Также соблюдаются аксиомы порядка при обычном понимании слова «между», аксиомы конгруэнтности – если конгруэнтными считать «отрезки» и «углы», могущие быть совмещенными, и аксиома параллельности, если считать параллельными «прямые», «лежащие» в одной «плоскости» и не имеющие общей «точки» (рис.11).
рис 11.
Проверим выполнимость некоторых аксиом: в «плоскости» существует только одна «прямая» l', инцидентная «точке» М' и параллельная данной «прямой» l', ибо существует только одна обыкновенная прямая l (ось цилиндра), инцидентная точке M и не инцидентная прямой l (осью цилиндра l') и заключенная вместе с «прямой» l' между двумя плоскостями.
. рис 12