Внешний угол треугольника больше любого не смежного с ним угла треугольника.
Аксиомы 13–17 позволяют ввести операцию движения в геометрии.
Определение движения. Взаимно однозначное соответствие точек плоскости называется движением, если соответствующим парам точек , соответствуют конгруэнтные отрезки
Заметим, что в этой группе вместо аксиом 13–17 можно аксиоматически задать движение и некоторые его свойства. Тогда аксиомы 13–17 будут являться теоремами, которые доказываются на основании аксиом движения.
Таким образом, аксиомы 1–17 первых трех групп позволяют построить геометрию, в которой на прямой существует последовательность примыкающих друг к другу конгруэнтных отрезков, пронумерованных натуральным рядом. В этой геометрии есть конгруэнтные и правильные фигуры, определено понятие движения, совмещающего конгруэнтные фигуры и т. д.
Но в этой геометрии еще нет понятия параллельного переноса, не определено соответствие между действительными числами и точками прямой. Отсутствуют понятия длины отрезка, площади и объема геометрических фигур. Следовательно, в этой геометрии еще нет понятия расстояния и понятий близости и непрерывности, связанных со свойствами расстояния между точками. Хотя абстрактные понятия близости и непрерывности уже можно вести на языке шаровых окрестностей.
Действительно, шаром В (O, OА) с центром в точке О и радиусом ОА назовем все точки М такие, что ОМ<ОА. Далее, шар В (О, ОА1) Ì B(О, ОА2), если ОА1<ОА2, таким образом, множество окрестностей точки О есть множество всех шаров В (О, ОРк ), kÎN, где Рк– любая точка пространства. Определим последовательность точек МкÎВ (О,ОРк), kÎN условиями а) и b):
а) ОР1>ОР2>…>ОРк>…, что означает последовательность вложенных шаров В(О,ОР1)ÉВ(О,ОР2)É…É В(О,ОРк) É…;
b) МкÏВк+1 "кÎN, что означает выбор каждой последующей точки в следующем вложенном шаре.
Используя лишь аксиомы I–III групп, мы не сможем установить существование предела у последовательности М1, М2, …, Мк, …, а в случае существования мы не сможем доказать его единственность.
Группа 4. Аксиомы непрерывности. Для описания свойства непрерывности расположения точек на прямой, определения длины отрезка и величины угла, установления взаимно однозначного соответствия между длинами всех отрезков и множеством действительных чисел вводим две следующие аксиомы.
| AºC D 2 СD … B n CD |
| n CD |
| Рис. 1. |
откладывания есть начало следующего и два последовательных отрезка имеют только одну общую точку, рис. 1.).
19. Аксиома Кантора. Пусть на прямой дана последовательность отрезков, удовлетворяющая двум требованиям:
1) каждый последующий отрезок содержится в предыдущем,
2) не существует отрезка, принадлежащего всем отрезкам последовательности. Тогда существует точка, принадлежащая всем отрезкам последовательности.
Аксиомы непрерывности 18–19 в геометрии и аксиомы непрерывности Архимеда и Кантора действительных чисел позволяют установить взаимно однозначное соответствие между значениями длин всех отрезков и действительными числами так, что конгруэнтным отрезкам соответствуют равные значения длин.
Заметим, что геометрия, построенная на 19 аксиомах групп 1–4, называется абсолютной геометрией. В этой геометрии ещё нет понятия параллельного переноса, поэтому ей принадлежат те и только те утверждения, которые не используют явно или неявно свойства параллельности.
Конгруэнтные отрезки в абсолютной геометрии имеют равные длины, а конгруэнтные фигуры – равные числовые меры углов, площадей и объемов. Поэтому отношение двух фигур «быть конгруэнтными» в абсолютной геометрии превращается в числовые равенства длин, углов, площадей и объемов фигур или их частей.
В абсолютной геометрии определено расстояние r(А,В) между любыми точками А и В, если определено понятие длины на прямой.
r (А,В) = длине отрезка АВ.
Расстояние обладает свойствами:
r (А,В) > 0ÛАºВ
r (А,С) r(А,В)+r(В,С), " А,В,С
Причем равенство выполняется только для точек А, В, С, лежащих на одной прямой так, что A<B<C.
Таким образом, абсолютная геометрия содержит понятия числовых равенств элементов фигур (сторон, углов и т. д.). В этой геометрии существуют понятия близости и непрерывности, основанные на понятии расстояния между точками фигур.