Группа 5. Аксиома параллельности
20. Через любую точку А, не инцидентную прямой “a” , можно провести в плоскости (определяемой этой точкой А и прямой “a”) не более одной прямой, не пересекающейся с “a”.
Обратим внимание на то, что через точку А вне прямой “a” можно провести хотя бы одну прямую “b”, не пересекающуюся с “a”, аÇb =Æ, мог доказать еще Евклид.
Действительно, опустим перпендикуляр АВ на прямую “a”. Затем восстановим в точке А перпендикуляр “b” к прямой АВ (рис. 2.).
Если существует пересечение прямых “
a” и “
b” в точке
Р, то в треугольнике
АВР имеем прямой угол
В равный внешнему прямому же углу при вершине
А. Это противоречит теореме о внешнем угле треугольника (доказанной на основании I–III групп аксиом!). Следовательно, “
b”Ç”
а”=Æ.
Итак, одна прямая, проходящая через точку и не пересекающая заданную прямую, существует. Но другую, отличную от этой, прямую никто построить не мог. Это породило иллюзию, что аксиома параллельности (V постулат в «началах» Евклида) может быть доказана. На протяжении почти двух тысяч лет геометры пытались вывести V постулат из остальных, рассуждая от противного. Лишь в XIX в. Николаю Ивановичу Лобачевскому (1792–1856) удалось построить мыслимую непротиворечивую геометрию, основанную на отрицании V постулата[8, c 55].