Для структуры ∑{T,Ð ,М} всякой системы аксиом Т определено множеств И – утверждений или высказываний, связывающих элементы Т, Ð, М этой структуры. (Напомним, что М – множество базовых элементов, а Ð – множество отношений между элементами М). Любое высказывание "и"ÎИ обладает одним из следующих трех свойств. Высказывание "и" является доказуемым в теории , обозначим множество таких высказываний Д. Высказывание "и"ÎИ опровержимо в системе , обозначим множество таких высказываний О. Наконец, высказывание "и"ÎИ не является ни доказуемым, ни опровержимым, то есть неопределенным; множество таких "и" обозначим Н. Таким образом, множество всех высказываний И, касающихся понятий структуры ∑Т, есть сумма непересекающихся классов
И=Д U О U Н. (1)
Определение (дедуктивной полноты). Непротиворечивая система аксиом Т называется дедуктивно полной, если в определяемой ею теории всякое предложение либо доказуемо, либо опровержимо. Другими словами, в теории всех высказываний такой системы Т недоказуемые и неопровержимые (неопределенные) утверждения отсутствуют и разложение (1) принимает вид
И=Д U О. (2)
Например, система аксиом Т абсолютной геометрии, состоящая из аксиом Д. Гильберта с исключенной аксиомой П – параллельности прямых, дедуктивно неполна. Действительно, аксиома параллельности П не доказуема и не опровержима в системе Т, так как П не зависит от Т.
Критерием дедуктивной полноты является свойство категоричности системы аксиом.
Определение (категоричности). Непротиворечивая, система аксиом называется категоричной, если любые ее модели (реализации) изоморфны.
Пусть система аксиом Т имеет две реализации R(T) и R'(T). Тогда согласно выводу 1 (п.6.4) между объектами Ri и R'i реализующими базовые множества Мi, устанавливается взаимно однозначное соответствие по схеме
(3)
Что можно сказать о соответствии между реализациями соотношений Рi в Ri и реализациями отношений P'i в R'i ?
Определение изоморфизма. Две реализации R(T) и R'(T) системы аксиом Т будем называть изоморфными, если выполняется два условия:
1) существует взаимно–однозначное соответствие (3) между реализациями Ri(Mi) и R'i(Mi) базовых множеств Mi, i=1,2,…, m;
2) отображение (3) устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми свойствами P'i(r'1,…,r'm) и Pi(r1,…, rm), представляющими в моделях R и R' свойства Ði(x1,…, xm) соответствующих при отображении (3) элементов r'ixiri .
Само отображение (3) при этом называется как изоморфизмом моделей или реализацией R(T) и R'(T), так и изоморфизмом аксиоматических структур T;P;R и T;P';R' .
Другими словами, изоморфизм моделей – это такое взаимно однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет отношения элементов, задаваемые системой аксиом.
Таким образом, если систему аксиом Т и ее аксиоматическую теорию рассматривать как мыслимые или абстрактные объекты, и если существует реализация R(T) этой системы Т, то соответствие между элементами базового множества М и элементами объекта R(M), реализующего М, устанавливает изоморфизм между мыслимой структурой T,Ð;М и моделью этой структуры T;P;R(M) .
Разница между абстрактной (формальной) системой аксиом с некоторой реализацией и содержательной системой аксиом состоит только в способе построения структуры. Действительно, можно вначале построить абстрактную систему аксиом, а затем указать ее модель. Можно наоборот, вначале выбрать те свойства модели, которые определяют ее с точностью до изоморфизма, а затем эти свойства принять за аксиомы. Оба способа определяют две изоморфные структуры.
Всякая аксиоматическая структура T,Ð;М определена с точностью до изоморфизма. Это означает, что любая ее изоморфная модель T;P;R(M) рассматривается как совокупность тех и только тех свойств, которые выводятся логическим путем в теории [2, c 19-22].