Для успешного применения радиального признака Коши полезно знать асимптотическую формулу для n!, выведенную Стирлингом
при
, где .
(Без доказательства.)
Примеры.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(ряд расходится по необходимому§11. Знакопеременные ряды.
Определение. Пусть " an³0, тогда ряд - знакопеременный ряд.
Теорема Лейбница. Если и , то знакочередующийся ряд сходится. При этом " n - модуль n-ого остатка ряда не превышает модуля следующего члена ряда.
Доказательство.
Рассмотрим частичные суммы ряда четного порядка
Их можно записать в виде
,
здесь каждая скобка неотрицательна, т.о. Þ последовательность частичных сумм четного порядка не убывает.
Заметим, что ту же последовательность можно записать и так
Þ
Т.е. неубывающая последовательность ограничена сверху Þ она сходится,
.
Покажем, что последовательность частичных сумм нечетного порядка стремится к тому же пределу. Действительно,
и Þ
Отметим, что для знакопеременного ряда справедливо S2k £ S £ S2k+1 . Так как { S2k } – неубывающая последовательность, а { S2k+1 } – невозрастающая последовательность. Обе сходятся к своей верхней (нижней) грани.
Þ S - S2k £ S2k+1 - S2k =a2k+1
и S2k-1 -S £ S2k-1 - S2k =a2k
Þ.
Пример.
- сходится в силу признака Лейбница. И его сумма .
Þ
Причина противоречия состоит в том, что не все свойства сумм переносятся на ряды. В частности, слагаемые можно переставлять только в абсолютно сходящихся рядах.