Неопределенный интеграл функции комплексной переменной

Неопределенный интеграл функции комплексной переменной.

Определение. Пусть g-односвязная область, f(z)ÎC(g) (не обязательно аналитическая!) и для " замкнутого контура gÌg =0. Функция -… Теорема 6.1. Пусть g-односвязная, f(z)ÎC(g) и для " замкнутого контура gÌg , тогда $ , F(z)ÎC¥(g) и . …

Интегральная формула Коши.

j(z)=f(z)/(z-z0) Î C¥(/z0). Возьмем в области g произвольный такой замкнутый контур g : z0 Ì g.… По теореме Коши для многосвязной области

Следствия интегральной формулы Коши.

Формула среднего значения.

Тогда CR: x= z0+R eij ; dx = i Reij dj = i eij ds (ds – дифференциал дуги)

Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.

Пусть обладает следующими свойствами: 1. Û 2. , по совокупности аргументов Û.

Существование производных всех порядков в области аналитичности функции комплексной переменной.

Производная порядка n нашей подынтегральной функции по параметру z равна => она непрерывна везде внутри g => можно дифференцировать интеграл… Теорема 8.1. Пусть f(z)Î C¥(), тогда внутри g существуют производные… .

Теоремы Мореры и Лиувилля.

Теорема Мореры. Если f(z)ÎC(g), g-односвязная и для " замкнутого gÌg: , то f(z)Î C¥(g). Доказательство. При условиях теоремы $ Î C¥(g) (Теорема 6.1.), где…  

Ряды комплексных чисел.

Числовые ряды.

Определение. Бесконечная сумма членов последовательности называется рядом. Определение. Конечные суммы Sn=называются частичными суммами ряда. Они также образуют последовательность {Sn}.

Свойства сходящихся рядов.

Доказательство. У сходящегося ряд сходится последовательность частичных сумм {Sn}Þ "e>0 $ N(e ): |Sn+m-Sn|<e для " n>N и…   Теорема 9.1. Пусть c – комплексное число. Если ряд сходится, то и ряд также сходится и

Критерий Коши сходимости ряда.

Для числовых последовательностей существует необходимый и достаточный признак сходимости. {Sn} сходится ó "e>0 $N(e): |Sn+m-Sn|<e… Критерий Коши сходимости ряда: Для сходимости ряда необходимо и достаточно,… Пример. Рассмотрим гармонический ряд - .

Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

Основные понятия.

Определение. Если ряд из модулей сходится, то ряд исходный ряд называется абсолютно сходящимся.

Теорема 10.1. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится в обычном смысле.

Доказательство.

Если ряд из модулейсходится, то для него выполнен критерий Коши Þ "e>0 $N(e): <e для "n>N и "m0, но |a_n+a_n+1+…+a_n+m|<e Þ для исходного ряда также выполнен критерий Коши и он сходится.

Обратное, вообще говоря, неверно.

Определение. Если сам ряд сходится, а соответствующий ряд из модулей расходится, то ряд называется условно сходящимся.

 

Из свойств неубывающих последовательностей Þ

Лемма. Для того, чтобы ряд с неотрицательными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была бы ограниченна сверху, причем, если S=sup{}, то S – сумма ряда.

 

Пример.

=

Т.о. у ряда с положительными членами ограничена последовательность частичных сумм Þ ряд сходится.

2. Признаки сравнения для рядов с неотрицательными членами.

Теорема 10.2. (Первый признак сравнения) Пусть a_n ³ 0, b_n ³ 0 и a_n =O(b_n). Тогда

1) если ряд сходится, то сходится и ряд ;

2) если же расходится ряд , то расходится и ряд .

Доказательство.

По определению a_n =O( b_n) ó $ 0<c<¥ : a_n £ c b_n, в частности возможно a_n £ b_n.

1) если “больший” ряд сходится Þ ограничена последовательность его частичных сумм £ M<¥, но тогда последовательность частичных сумм “меньшего” ряда £cM также ограничена сверху. Тогда по Лемме ряд сходится.

2) Предположим обратное, а именно “больший” ряд сходится, тогда по доказанному в п.1) “меньший” ряд должен сходится, а это противоречит условию.

 

Теорема 10.3. (Второй признак сравнения) Пусть a_n >0, b_n >0 и $ , 0<k<¥. Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство.

Если $ , то "e>0 $N(e): "n>N(e)

ó ó Выбирая e, можем добиться k-e>0. Применяя первый признак сравнения и оценку , получим, что из сходимости ряда следует сходимость ряда . Аналогично используя оценку , из расходимости ряда следует рассходимость ряда .

Примеры.

1) , , а ряд сходится – это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

2) , начиная с определенного номера n>N выполнено , а гармонический ряд расходится Þ расходится и исходный ряд.

3) - ряд с неотрицательными членами.

при n®¥.

Но ряд сходится, значит по первому признаку сравнения сходится и исходный ряд.

4) - ряд с отрицательными членами, но если мы докажем сходимость ряда , то мы тем самым докажем сходимость исходного ряда. при n®¥ Þ исходный ряд сходится.

5) - ряд с положительными членами, т.к. при n=3,4,… и Þ (под логарифмом стоит число, большее единицы). Учитывая, что при n®¥, получим асимптотику членов исходного ряда

,

т.о. исходный ряд эквивалентен гармоническому и Þ расходится.

Признаки Коши и Даламбера для рядов с неотрицательными членами.

 

Достаточными признаками сходимости рядов с положительными членами являются признаки Даламбера и Коши.

1) при l<1 ряд сходится, 2) при l>1 ряд расходится, 3) при l=1 ничего сказать нельзя.

Тогда

a_N+1 £ a_N q

a_N+2 £ a_N+1 q £ a_N q²

………………………

a_N+p £ a_N+p-1 q £…£ a_N q^p

Ряд a_N q+ a_N q+…+ a_N q^p+… сходится, как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 0<q<1 Þ по признаку сравнения сходится и исходный ряд.

2) Если l>1, то $e>0: l>1+2e => l-e >1+e.

Т.к. $ , то $ N(e): l-e << l+e для "n>N (e)

=> для "n>N, тогда

a_N+1 ³ a_N

a_N+2 ³ a_N+1 ³ a_N

………………………

Т.о. члены ряда ограничены снизу положительной постоянной a_N>0 и не стремятся к 0 Þ ряд расходится.

3) рассуждения не применимы при l=1 n

Замечание. Признак Даламбера можно использовать для исследования сходимости рядов с произвольными комплексными членами . Действительно, если $ , то

1) при l<1 ряд сходится Þ - сходится, причем абсолютно

2) при l>1 ряд Þ - расходится

3) при l=1 ничего сказать нельзя.

 

Признак Коши (радикальный) Пусть - ряд с неотрицательными членами a_n ³ 0 и $ тогда

1) при l<1 ряд сходится,

2) при l>1 ряд расходится,

3) при l=1 ничего сказать нельзя.

Доказательство.

1) если l<1, то $e>0: l<1-2e =>l+e <1-e. Т.к. $, то из последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к l. Причем l наибольшая по величине точка сгущения последовательности

т.о. $N(e):

<l+e <1-e =q<1, для "n>N(e).

иначе бы существовала другая, большая по величине точка сгущения .

=>a_n<qⁿ, т.е. ряд мажорируется бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем q<1.

2) Если l>1, то $e>0: l>1+e => l-e >1.

Т.к. $ , то $ N(e): l-e < для "n_k>N(e)

=> => >1 => бесконечное число членов ряда больше 1 => члены ряда не стремятся к 0 => ряд расходится.

3) рассуждения не применимы при l=1.n

 

Замечание. Радикальный признак Коши можно использовать для исследования сходимости рядов с произвольными комплексными членами . Действительно, если $ , то

1) при l<1 ряд сходится Þ - сходится абсолютно

2) при l>1 ряд Þ - расходится

3) при l=1 ничего сказать нельзя.

 

Замечание 3. Если о ряде известно лишь, что или , то о сходимости действительно ничего сказать нельзя. Например, ряды и удовлетворяют обоим условиям. При этом один из них сходится, а другой расходится.

Интегральный признак Коши. Если функция и при ", то ряд

,

сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл

.

 

Доказательство.

" k при , в силу убывания

.

Проинтегрируем неравенство по отрезку

.

Суммируя эти неравенства от k=1 до k=n, получим

 

.

Полагая - частичные суммы ряда, получим

.

1) Если несобственный интеграл сходится, то при "n =>

.

Т.е. последовательность частичных сумм ряда с неотрицательными членами ограничена сверху Þ ряд сходится.

2) Если ряд с неотрицательными членами сходится, то при "n =>

.

Для при " x: 1£x£n в силу неотрицательности

.

Т.о. совокупность интегралов ограничена " x => несобственный интеграл сходится.

 

Примеры.

1) - ряд Дирихле.

,

верхняя подстановка конечна, если =>

Ряд Дирихле сходится при и расходится при .

2) - расходится, т.к.

- расходится.

Формула Стирлинга.

при , где . (Без доказательства.)

Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Рассмотрим произвольный ряд из комплексных чисел . Обозначим - ряд, составленный из тех же чисел, взятых в другом порядке Теорема 12.1. Если ряд - сходится абсолютно, то и - так же сходится и имеет ту… Члены абсолютно сходящегося ряда можно переставлять.

Признаки Дирихле и Абеля для рядов с произвольными комплексными членами.

Предварительно рассмотрим одно преобразование сумм Такое преобразование частичных сумм называется преобразованием Абеля. С его помощью докажем неравенство Абеля.

Ряды аналитических функций.

rn(z)=f(z)- - n-ый остаток ряда Если ряд сходится в g, то "e>0 $ N(e,z): | rn(z)| <e для " n > N(e, z).

Теорема Абеля.

|z-z0|£r<|z1-z0| сходится равномерно. Доказательство. Выберем произвольную точку z: |z-z0|<|z1-z0|. В силу необходимого условия… Þ |cn|<A/|z1-z0|n Þ |cn(z-z0)n|<A|(z-z0)/(z1-z0)|n . Но |(z-z0)/(z1-z0)|=q<1 Þ |Scn(z-z0)n|<ASqn Þ ряд мажорируется бесконечно убывающей геометрической…

Теорема Тейлора.

Scn(z-z0)n =>f(z) при |z-z0|<R. Доказательство. Возьмем " z: |z-z0|<R и построим Cr - окружность… Т.к. f(z)ÎC¥(|z-z0|<r ), то по интегральной формуле Коши;

Ряды Тейлора элементарных функций.

2. (Воспользоваться ) 3. (Воспользоваться ) 4. , (Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии)

Понятие правильной точки.

Точка z0Îg называется правильной точкой функции f(z), заданной в g,если $ в круге |z-z0|<r(z0), где r(z0)>0 - радиус сходимости… Все остальные точки zÎg- особые точки функции f(z), заданной в g. Замечание.Если f(z)ÎC¥ (g), то все zÎg- правильные точки f(z). Если f(z) задана в , то граничные точки…

Нули аналитической функции.

Если C1=…= Cn-1 =0, а Cn¹0, то z0 - нуль n-того порядка. В этом случае Заметим, что в нуле n-того порядка f(z0) = f ' (z0)=… = f(n-1)(z0) = 0,… Если Cn=0 "n, то f(z)º0.

Если бы все точки границы были бы правильными, то

$r(x)>0: "z |x-z|<r(x), т.е. задана строго положительная функция r(x) Докажем, что для этой функции в любых двух точках границы круга сходимости… .

Ряд Лорана.

Кольцо сходимости ряда Лорана.

Второе слагаемое называется правильной (регулярной) частью ряда Лорана, первое - главной частью ряда Лорана. Очевидно, областью сходимости ряда Лорана будет пересечение областей… Из теоремы Абеля следует, что регулярная часть сходится в круге и является в нем аналитической функцией. Î…

Теорема о разложении функции комплексной переменной, аналитической в круговом кольце в ряд Лорана.

Доказательство. Фиксируем произвольную точку z внутри кольца: (R2<|z-z0|<R1) и построим окружности C1 :|x-z0|=R'1 и C2 : |x-z0|=R'2 , с… Проведя почленное интегрирование, что возможно в силу равномерной сходимости… ,

Ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Внимание. Главной частью ряда Лорана в окрестности называется , а регулярной (все наоборот). Чтобы разложить функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности нужно выполнить замену… Пример.