Теорема Абеля.
Теорема Абеля. Если степенной ряд Scn(z-z0)n сходится в точке z1 ¹ z0 , то он абсолютно сходится и при " z: |z-z0|<|z1-z0 |, причем в замкнутом круге
|z-z0|£r<|z1-z0| сходится равномерно.
Доказательство. Выберем произвольную точку z: |z-z0|<|z1-z0|. В силу необходимого условия сходимости ряда $ A>0 : для " n |cn(z1-z0)n|<A
Þ |cn|<A/|z1-z0|n Þ |cn(z-z0)n|<A|(z-z0)/(z1-z0)|n .
Но |(z-z0)/(z1-z0)|=q<1 Þ |Scn(z-z0)n|<ASqn Þ ряд мажорируется бесконечно убывающей геометрической прогрессией Þ сходится абсолютно.
При |z-z0| £ r <|z1-z0| ряд сходится равномерно по мажорантному признаку Вейерштрасса т.к. |Scn(z-z0)n| £ AS|r/(z1-z0)|n < ASqn , q<1 n
Следствия теоремы Абеля.
1. Если степенной ряд расходится в точке z2 ¹ z0 , то он расходится и при " z: |z-z0|>|z2-z0 |. (Предполагая противное, получим, что по тереме Абеля ряд должен сходится в " круге радиуса r <|z-z0 |, в частности и в точке z2, что противоречит условию.).
2. Круг сходимости. Радиус сходимости. Рассмотрим sup|z1-z0 |=R для " z1, где ряд сходится - точную верхнюю грань расстояний от точки z0 до точек z1, в которых сходится ряд Scn(z-z0)n .
Если R¹¥, то для " z2: |z2-z0|>R ряд расходится. Þ R=inf|z2-z0 |=R для
" z2 , где ряд расходится. Пусть R>0, тогда наибольшей областью сходимости степенного ряда является круг |z-z0|<R - круг сходимости степенного ряда, число R>0 - радиус сходимости степенного ряда. Внутри круга сходимости ряд сходится, вне - расходится, в точках границы |z-z0|=R может как сходиться, так и расходиться.
3.Формула Коши-Адамара.
R=1/L, L=
Доказательство.
Применяем радикальный признак Коши
Пусть сначала 0<L<¥,
Тогда ряд сходится при 
Если L=0, то
т.о. члены ряда мажорируются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии, следовательно ряд сходится 
, и формально можно записать для радиуса сходимости 
Если L=¥, то
т.о. существует бесконечно много членов ряда, больших 1, т.о. не выполнен необходимый признак сходимости рядов, т.е. ряд рассходится , и формально можно записать для радиуса сходимости 
4. В " круге |z-z0|£r <R степенной ряд сходится равномерно. => По теореме Вейерштрасса Scn(z-z0)n=f(z)ÎC¥(|z-z0|<R).
5. По теореме Вейерштрасса степенной ряд внутри круга сходимости можно дифференцировать и интегрировать почленно любое число раз. При этом радиус сходимости не меняется!
6. Scn(z-z0)n=f(z) Þ c0=f(z0), Scn+1(n+1)(z-z0)n=f '(z) Þ c1=f '(z0)…
Scn+k(n+k)!(z-z0)n=f(k)(z) Þ ck=f(k)(z0)/k!
7. Пример. 
: " cn=1 Þ R=1.
Sn=[1-(z-z0)n+1]/[1-(z-z0)]; |z-z0 |<1
=1/[1-(z-z0)]. Þ 
=1/[1-(z-z0)]- Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии.
8. Сходимость ряда на границе требует дополнительного исследования
1) 
по формуле Коши-Адамара R=1, на границе круга сходимости нет, т.к. модуль членов ряда не убывает ни для каких z.
2) 
по формуле Коши-Адамара R=1, в некоторых точках границы круга ряд сходится (z=-1 
), а в других расходится (z=1 
),.
3) 
по формуле Коши-Адамара R=1, на границе круга ряд сходится, т.к. мажорируется сходящимся 
.
9. Вторая теорема Абеля. Если степенной ряд сходится и на границе круга сходимости, то сходимость равномерная внутри всего замкнутого круга сходимости.
(очевидность следует из мажорантного признака Вейерштрасса)
Итак Scn(z-z0)n=f(z)ÎC¥(|z-z0|<R). Можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции?
Ответ на этот вопрос дает