Теорема Тейлора.

Теорема Тейлора. Если f(z)ÎC^¥(|z-z₀|<R), то $! степенной ряд

Sc_n(z-z₀)ⁿ =>f(z) при |z-z₀|<R.

Доказательство. Возьмем " z: |z-z₀|<R и построим C_r - окружность радиуса r с центром в точке z₀ и содержащую точку z внутри:
для "xÎ C_r: | x -z₀|=r, r<R, |x -z₀|>|z-z₀|.

Т.к. f(z)ÎC^¥(|z-z₀|<r ), то по интегральной формуле Коши;

Преобразуем подынтегральное выражение

Мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, ведь |z-z₀|/|x -z₀|<1. "xÎ C_r ряд сходится равномерно по x, так как мажорируется сходящимся числовым рядом

f(z)=;

c_n==f⁽ⁿ⁾(z₀)/n!, что и доказывает $ и единственность разложения. n

Замечания 1) Разложение функции f(z)= Sc_n(z-z₀)ⁿ называют разложением функции в ряд Тейлора.

2) По теореме Коши c_n= , где C - произвольный кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точку z₀, целиком лежащий в области аналитичности функции.

Пример.

; …

 

Þ

.