Интегральная формула Коши.

Пусть f(z)Î C^¥(). Выразим f(z₀) (z₀Îg) через значения f(z) на ¶g.

j(z)=f(z)/(z-z₀) Î C^¥(/z₀).

Возьмем в области g произвольный такой замкнутый контур g : z₀ Ì g. j(z)ÎC^¥(g^*) (g^* - многосвязная область между ¶g и g).

По теореме Коши для многосвязной области

 

: x= z₀+re ^ij, dx = ir e ^ij dj

В силу произвольности можем r®0.

f(z)Î C^¥()=> " e>0 $ r: |f(x)-f(z₀)|< e как только |x-z₀|<r ("j!) =>

$

Т.о. или

- интеграл Коши

Замечания.

1. Формула верна как для g односвязной, так и g- многосвязной, только в последнем случае g⁺- полная граница области, проходимая в положительном направлении.

2. Интеграл Коши имеет смысл для " взаимного расположения точки z₀ и замкнутого контура G (не проходящего через z₀) в области аналитичности f(z)