Кольцо сходимости ряда Лорана.

Определение. Рядом Лорана называется степенной ряд вида (суммирование ведется и по положительным, и по отрицательным степеням), здесь z₀ – фиксированная точка комплексной плоскости.

Второе слагаемое называется правильной (регулярной) частью ряда Лорана, первое - главной частью ряда Лорана.

Очевидно, областью сходимости ряда Лорана будет пересечение областей сходимости его регулярной и главной части.

Из теоремы Абеля следует, что регулярная часть сходится в круге и является в нем аналитической функцией. Î C^¥(|z-z₀|<R₁).

Сделаем замену 1/(z-z₀)=x; главная часть ряда Лорана принимает вид . По теореме Абеля такой ряд сходится при , что соответствует внешности круга .

При R₂<R₁ существует общая область сходимости - круговое кольцо R₂<|z-z₀|<R₁.
Свойства степенного ряда, следующие из теоремы Абеля :

1. ÎC^¥(R₂<|z-z₀|<R₁).

2. Внутри кругового кольца сходимости ряд Лорана можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз, при этом полученные ряды также аналитичны в том же кольце.

3. R₁ определяется через {c_n}, n=0,1,2...,: R₁=1/L₁, L₁= или L₁=, а R₂ - через {c_-n}, n=1,2...,: R₂=, или R₂=.

4. Коэффициенты ряда Лорана c_n через значения суммы ряда в точке z₀ не определяются! В точке z₀ сумма ряда Лорана не определена!

Пимеры:

1) ,

2) ,

3) ,