Теорема о разложении функции комплексной переменной, аналитической в круговом кольце в ряд Лорана.
Теорема (теорема Лорана) Если f(z)ÎC¥(R2<|z-z0|<R1), то она однозначно разложима в этом кольце в ряд Лорана f(z)= 
.
Доказательство. Фиксируем произвольную точку z внутри кольца: (R2<|z-z0|<R1) и построим окружности C1 :|x-z0|=R'1 и C2 : |x-z0|=R'2 , с центром По формуле Коши для многосвязной области в силу аналитичности f(z), справедливо f(z)=
=f1(z)+f2(z) 
Проведя почленное интегрирование, что возможно в силу равномерной сходимости ряда по переменной x на C1
,
где введено обозначение
, n>0.
На окружности C2:|x-z0|=R'2 выполняется неравенство
. Поэтому, дробь
1/(x-z) можно представить в виде
В результате почленного интегрирования этого ряда получим:
,
где введено обозначение 
Изменив направление интегрирования, получим:
, n>0
Подынтегральные функции в выражениях для cn и c-n являются аналитическими в круговом кольце R2<|z-z0|<R1.. Поэтому в силу теоремы Коши значения соответствующих интегралов не изменится при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности подынтегральных функций. Это позволяет записать общее выражение
, n=0,±1,±2,…
где C - произвольный замкнутый контур, лежащий в кольце R2<|z-z0|<R1 и содержащий точку z0 внутри. Для f(z) окончательно можно записать:
f(z)=
.
Т.к. z - произвольная точка внутри кольца R2<|z-z0|<R1 Þ ряд 
сходится к f(z) всюду внутри данного кольца, причем в замкнутом кольце R2<R'2£|z-z0|£R'1<R1 ряд сходится к f(z) равномерно.
Докажем единственность разложения в ряд Лорана. Предположим, что имеет место другое разложение f(z)= 
, где хотя бы один коэффициент c'n¹cn. Тогда всюду внутри кольца R2<|z-z0|<R1 имеет место равенство: 
=
Проведем окружность CR , радиуса R: R 2<R<R1 , с центром в точке z0 . Тогда ряды 
и 
сходятся на CR равномерно.
Умножим оба ряда на (z-z0)-m-1 , где m- произвольное целое число и проинтегрируем почленно по окружности CR.
Рассмотрим 
.
Т.о. для " m c'm=cm.
Примеры. Разложить в ряд Лорана с центром в 
1) 
, 
2) 
, 